二分查找写法总结（找元素，定区间，求精度）

在有序表中查找元素常常使用二分查找，也可以叫折半查找，它是通过二分区间不断的缩小查找范围，已达到快速查找的目的，基本思路就像“猜数字游戏”：你心里想一个不超过1000的正整数，我可以保证在10次之内猜到它，只要你告诉我每次是大了还是小了或是相等。在ACM中，二分查找经常穿插在各类题型中，用途很广泛，是必须要掌握的一个算法。

一、 整型

二分查找采用逐步缩小范围的思维方法，它遵循分治三步法，把院序列划分成元素个数尽量接近的两个子序列，然后递归查找，时间复杂度为O(logn)，但一般二分查找不写成递归的形式，而是用循环迭代的形式。

1.要实现在一个线性序列的[x,y)[x,y)区间内查找是否存在等于key值的元素，存在返回下标位置；不存在则返回-1

int Binary_search(int* a, int x, int y, int key)
{
int m;
while(x<y){
m=x+(y-x)/2;
if(a[m]==key) return m;
else if(a[m]>key) y=m;
else x=m+1;
}
return -1;
}

2.线性序列中可能存在多个key值，分下面两种要求讨论：

如果key存在，返回它出现的第一个位置；如果不存在，返回一个下标 i 使得在此处插入 key 后序列仍然有序

int lower_bound(int* a, int x, int y, int key)
{
int m;
while(x<y){
m=x+(y-x)/2;
if(a[m]>=key) y=m;
else x=m+1;
}
return x;
}

即实现了STL中同名函数lower_bound的功能，查找序列中满足插入key值而序列仍然有序的第一个位置。

如果key存在，返回它出现的最后一个位置的后面一个位置；如果不存在，返回一个下标 i 使得在此处插入 key 后序列仍然有序

int upper_bound(int* a, int x, int y, int key)
{
int m;
while(x<y){
m=x+(y-x)/2;
if(a[m]<=key) x=m+1;
else y=m;
}
return x;
}

即实现了STL中同名函数upper_bound的功能，查找序列中满足插入key值而序列仍然有序的最后一个位置。

拓展说明：利用upper_bound - lower_bound可以得到序列中与key值相等的元素的个数

二、 浮点型

一般用于使结果达到某一精度而不断地进行二分，也有两种写法，一种是指定循环次数作为终止条件，1次循环可以把区间的范围缩小一半，100次的循环则可以达到

2−100≈10−302−100≈10−30

的精度范围，这样做应该是没有问题的，而且不会陷入无限循环；另一种是指定精度为eps作为终止条件，但是这样做需要注意，如果eps取得太小了，就有可能因为浮点小数精度的原因导致陷入死循环。

1.指定精度

#define eps 1e-8
double Binary_search(double l, double r)
{
double mid;
while (r-l>=eps*1e-2)//要确保达到精度，误差区间必须计算到精度后两位
{
mid=l+(r-l)/2.0;
if(f(mid)==0) break;
else if (f(mid)>0) r=mid;
else l=mid;
}
return mid;
}

2.指定循环次数

double Binary_search(double l, double r)
{
double mid;
for(int i=0; i<100; i++)
{
mid=l+(r-l)/2.0;
if(f(mid)==0) break;
else if (f(mid)>0) r=mid;
else l=mid;
}
return mid;
}

实例测试

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10;
int a[maxn];

int Binary_search(int* a, int x, int y, int key)
{
int m;
while(x<y){
m=x+(y-x)/2;
if(a[m]==key) return m;
else if(a[m]>key) y=m;
else x=m+1;
}
return -1;
}

int lower_bound(int* a, int x, int y, int key)
{
int m;
while(x<y){
m=x+(y-x)/2;
if(a[m]>=key) y=m;
else x=m+1;
}
return x;
}

int upper_bound(int* a, int x, int y, int key)
{
int m;
while(x<y){
m=x+(y-x)/2;
if(a[m]<=key) x=m+1;
else y=m;
}
return x;
}

int main()
{
int key;
cout<<"Please Input "<<maxn<<" Numbers: ";
for(int i=0; i<maxn; i++){
cin>>a[i];
}
sort(a,a+maxn);
cout<<"Please Input The key Number: ";
cin>>key;
cout<<"线性序列：";
for(int i=0; i<maxn; i++){
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<"位置下标：";
for(int i=0; i<maxn; i++){
cout<<i<<" ";
}
cout<<endl;
printf("等于%d的元素的位置下标为: %d\n",key,Binary_search(a,0,maxn,key));
printf("第一个等于%d的位置下标: %d\n",key,lower_bound(a,0,maxn,key));
printf("最后一个等于%d的位置的后面一个位置下标: %d\n",key,upper_bound(a,0,maxn,key));
printf("序列中%d的个数: %d\n",key,upper_bound(a,0,maxn,key)-lower_bound(a,0,maxn,key));
return 0;
}

测试结果

注：参考《算法竞赛入门经典》