数学建模专栏 | 第八篇：MATLAB评价型模型求解方法

本讲将主要介绍评价型模型的 MATLAB 求解方法。构成评价模型的五个要素分别为：被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。而
MATLAB 在评价型模型建模过程中的主要作用是指标筛选、数据预处理(如数据标准化、归一化等)和权重的计算， 最重要的还是权重的计算。

在权重的计算方面， 主要有两种方法： 一种是线性加权法； 二是层次分析法。下面将介绍这两种方法的 MATLAB 实现过程。

1. 线性加权法

线性加权法的适用条件是各评价指标之间相互独立， 这样就可以利用多元线性回归方法来得到各指标对应的系数。

现以具体的实例来介绍如何用 MATLAB 来实现具体的计算过程。所评价的对象是股票， 已知一些股票的各个指标以及这些股票的历史表现，其中最后一列标记为 1 的表示为上涨股票，标为 0 的表现为一般的股票，-1 的则为下跌的股票。希望根据这些已知的数据， 建立股票的评价模型，这样就可以利用模型评价新的股票。

具体步骤如下：

（1）导入数据

clc, clear all,
close all

s = dataset('xlsfile', 'SampleA1.xlsx');

（2）多元线性回归

当导入数据后，就可以先建立一个多元线性回归模型，具体实现过程和结果如下：

myFit = LinearModel.fit(s);

disp(myFit)

sx=s(:,1:10);

sy=s(:,11);

n=1:size(s,1);

sy1= predict(myFit,sx);

figure

plot(n,sy, 'ob', n, sy1,'*r')

xlabel('样本编号', 'fontsize',12)

ylabel('综合得分', 'fontsize',12)

title('多元线性回归模型', 'fontsize',12)

set(gca, 'linewidth',2)

该段程序执行后，得到的模型及模型中的参数如下。



利用该模型对原始数据进行预测，得到的股票综合得分如图1所示。从图中可以看出，尽管这些数据存在一定的偏差，但三个簇的分层非常明显，说明模型在刻画历史数据方面具有较高的准确度。



图1  多元线性回归模型得到的综合得分与原始得分的比较图

（3）逐步回归

上述是对所有变量进行回归，也可以使用逐步回归进行因子筛选，并可以得到优选因子后的模型，具体实现过程如下。

myFit2 = LinearModel.stepwise(s);

disp(myFit2)

sy2= predict(myFit2,sx);

figure

plot(n,sy, 'ob', n, sy2,'*r')

xlabel('样本编号', 'fontsize',12)

ylabel('综合得分', 'fontsize',12)

title('逐步回归模型', 'fontsize',12)

set(gca, 'linewidth',2)

该段程序执行后，得到的模型及模型中的参数如下。



从该模型中可以看出，逐步回归模型得到的模型少了 5 个单一因子，多了 5 个组合因子，模型的决定系数反而提高了一些，这说明逐步回归得到的模型精度更高些，影响因子更少些，这对于分析模型本身是非常有帮助的，尤其是在剔除因子方面。

利用该模型对原始数据进行预测，得到的股票综合得分如图 2 所示，总体趋势和图 1 相似。



图2  逐步回归模型得到的综合得分与原始得分的比较图

以上是线性加权法构建评价型模型的方法， 所用的程序框架对绝大多数的这类问题都可以直接应用，核心是要构建评价的指标体系， 这是建模的基本功。总的来说，线性加权法的特点是：

（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；

（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；

（3）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。

2. 层次分析法
(AHP)

层次分析法 (Analytic Hierarchy Process, AHP) 是美国运筹学家萨蒂（T. L. Saaty）等人 20 世纪 70 年代初提出的一种决策方法，它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可比较的定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到广泛的应用。

AHP 的本质是根据人们对事物的认知特征，将感性认识进行定量化的过程。人们在分析多个因素时，大脑很难同时梳理那么多的信息，而层次分析法的优势就是通过对因素归纳、分层，并逐层分析和量化事物，以达到对复杂事物的更准确认识，从而帮助决策。

在数学建模中，层次分析法的应用场景比较多，归纳起来，主要有以下几个场景：

(1) 评价、评判类的题目。这类题目都可以直接用层次分析法来评价，例如奥运会的评价、彩票方案的评价、导师和学生的相互选择、建模论文的评价、城市空气质量分析等。

(2) 资源分配和决策类的题目。这类题目可以转化为评价类的题目，然后按照
AHP 进行求解，例如将一笔资金进行投资，有几个备选项目，那么如何进行投资分配最合理呢？这类题目中还有一个典型的应用，就是方案的选择问题，比如旅游景点的选择、电脑的挑选、学校的选择、专业的选择等等，这类应用可以说是 AHP 法最经典的应用场景了。

(3) 一些优化问题，尤其是多目标优化问题。对于通常的优化问题，目前已有成熟的方法求解。然而，这些优化问题一旦具有如下特性之一，如：①问题中存在一些难以度量的因素；②问题的结构在很大程度上依赖于决策者的经验；③问题的某些变量之间存在相关性；④需要加入决策者的经验、偏好等因素，这时就很难单纯依靠一个优化的数学模型来求解。这类问题，通常的做法是借助
AHP 法将复杂的问题转化为典型的、便于求解的优化问题，比如多目标规划，借助层次分析法，确定各个目标的权重，从而将多目标规划问题转化为可以求解的单目标规划问题。

由于 AHP 法的理论基础，很多书中都已经进行了详细的描述，这里重点关注如何用 MATLAB 来实现层次分析法的过程。而层次分析法中，需要 MATLAB 的地方主要就是将评判矩阵，转化为因素的权重矩阵。为此，这里只介绍如何用 MATLAB 来实现这一转化。

将评判矩阵转化为权重矩阵，通常的做法就是求解矩阵最大特征根和对应阵向量。如果不用软件来求解，可以采用一些简单的近似方法来求解，比如“和法”、“根法”、“幂法”，但这些简单的方法依然很繁琐。所以建模竞赛中依然建议还是采用软件来实现。如果用
MATLAB 来求解，我们就不用担心具体的计算过程，因为 MATLAB 可以很方便、准确地求解出矩阵的特征值和特征根。但需要注意的是，在将评判矩阵转化为权重向量的过程中，一般需要先判断评判矩阵的一致性，因为通过一致性检验的矩阵，得到的权重才更可靠。

下面就以一个实例来说明如何应用 MATLAB 来求解权重矩阵，具体程序如下：

%% AHP法权重计算MATLAB程序

%% 数据读入

clc

clear all

A=[1 2 6; 1/2 1 4; 1/6 1/4 1];% 评判矩阵

%% 一致性检验和权向量计算

[n,n]=size(A);

[v,d]=eig(A);

r=d(1,1);

CI=(r-n)/(n-1);

RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];

CR=CI/RI(n);

if  CR<0.10

    CR_Result='通过';

   else

    CR_Result='不通过';  

end

 

%% 权向量计算

w=v(:,1)/sum(v(:,1));

w=w';

 

%% 结果输出

disp('该判断矩阵权向量计算报告：');

disp(['一致性指标:' num2str(CI)]);

disp(['一致性比例:' num2str(CR)]);

disp(['一致性检验结果:' CR_Result]);

disp(['特征值:' num2str(r)]);

disp(['权向量:' num2str(w)]);

运行该程序，可得到以下结果：

该判断矩阵权向量计算报告：

一致性指标:0.0046014

一致性比例:0.0079334

一致性检验结果:通过

特征值:3.0092

权向量:0.58763     0.32339    0.088983

从上面的程序来看，该段程序还是比较简单、明了的，但输出的内容非常全面，既有一致性检验，又有我们直接想要的权重向量。

应用这段程序时，只要将评判矩阵输入到程序中，其它地方都不需要修改，然后就可以直接、准确地计算出对应的结果，所以这段程序在实际使用中非常灵活。

只要掌握层析分析法的应用场景、层次分析法的应用过程和如何由评判矩阵得到权重向量，就可以灵活、方便地使用层次分析法解决实际问题了。