SVM（support vector machine）支持向量机原理详解

SVM是什么？

SVM - support vector machine, 俗称支持向量机，为一种supervised learning算法，属于classification的范畴。

在数据挖掘的应用中，与unsupervised的Clustering相对应和区别。
广泛应用于机器学习(Machine Learning), 计算机视觉(Computer Vision) 和数据挖掘(Data Mining)当中。
SVM大致原理如图1，





假设我们要通过三八线把实心圈和空心圈分成两类。
那么有无数多条线可以完成这个任务。
在SVM中，我们寻找一条最优的分界线使得它到两边的margin都最大。
在这种情况下边缘加粗的几个数据点就叫做support vector，这也是这个分类算法名字的来源。
拓展至任意n维乃至无限维空间，如图2，


图片引用自OpenCV:



We got a bunch of data points in a n- dimensional to infinite-dimensional space,

Then one can always find a optimal hyperplane which is always in the n-1 dimension.

怎么求解SVM？

由直观到拟合：
直观上，存在一个最优的超平面。
那么，我们就假设这个最优面的公式是：
W * X + b = 0，

那么对于所有的点集x，
都存在平行于最优超平面，的点集的边界面
W * xi + b >= 1 或 W * xi + b <= -1, 这里 yi可以归一化为1，-1
最大化这两个平行超平面的距离。即
max  2 / ||w||
或者说是 最小化w，即 min ||w||
另外一个条件是 W * xi + b >= 1 或 W * xi + b <= -1。
这个有点超出平时用的计算方法了（如果没学过最优化理论），因既有求极值，又有不等式存在。这个是典型的QP（quandratic programming）二次规划问题。高数里面有有关求极值的理论，采用的是拉格朗日乘子法，但其条件是等式。
所以，需要将不等式，转化为等式的形式。 方法就引入变量。
给每个点配上一个系数α，若是边界点，那么α就为大于0，否则就为0.
则 αi * yi * (W * xi + b) = 0.

从另一方面来讲，αi也可以看做是拉格朗日系数，采用拉格朗日乘子法，求极值。
由于αi也是未知的。所以，又需要求出αi。



即 min ( max L )， max L 是因为后面的超平面公式经过减号后变成了 <= 形式，其求和的最大值为0。

先对min求极值, 对w，和b进行微分。

推导出以下关系



（blog没公式编辑器，想偷懒只要剪贴了）
终于推出简单点的公式了。由min 到 max 也是一个对偶转换的过程，又称dual
求max极值，并且，只有一个等式约束条件，缺点就是未知变量也增加了。
接下来，就是用最优化的方法，求取极值了。
对未知变量，取一个初始值，然后用点集中的点，一个接一个的进行训练。
直至未知变量收敛。
3. SMO 解法
SVM 从简单边界分类思路，到复杂的拉格朗日求解。
其实，对于二次规划问题，有经典的最速下降法，牛顿法等最优化求解方法。而SMO是一个SVM的优化算法，避开了经典的二次规划问题。
消除w，转换为 αi 的求解。这是一个更加有效的求解方法
利用KKT条件，再加上一堆的推论，终于有以下公式：



还是这么多公式和术语，真是令我头疼。只能先记着，后面慢慢消化。

原理理解：
 αi *  αj  * ... 其实仍然是一个多元规划问题，所以，先多做几个假设：
1. 假设除 α1 之外，其他都是定值，那么据∑ni=1αiyi=0，  α1可以直接定下来，就无法进行优化了。

2. 若有 α1，  α2是变量，其他是常量， α2可以由 α1来表示，代入到目标函数中，就形成了一个一元二次函数。这样就能轻易地求极值了。其中，还是要考虑约束条件的：
αiα
i
0 <= ai <= C. 总之，求极值是方便可行多了。

采用此方法，选取不同的 αi,  αj求极值。 然后选取最大的。
SMO就是采用这种原理，只不过它不是依次或随机选取 α，而是采用启发式算法选取最优的两个维度。
 John C. Platt 的那篇论文 Fast Training of Support Vector Machines Using Sequential Minimal Optimization，有原理，有伪代码可以参考。
http://blog.pluskid.org/?page_id=683
介绍的也是比较深入浅出的。

3. SVM种类有哪些，适用场景及优缺点

SVM的空间复杂度：
SVM 是所占内存，是样本数据量的平方。
《A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern Recognition》  1998KluwerAcademicPublishers,Boston，训练计算复杂度在O(Nsv^3+LNsv^2+d*L*Nsv)和O(d*L^2)之间，其中Nsv是支持向量的个数，L是训练集样本的个数，d是每个样本的维数(原始的维数，没有经过向高维空间映射之前的维数).

总的来讲，SVM的SMO算法根据不同的应用场景，其算法复杂度为~N 到~N^2.2之间，而chunking scale的复杂度为~N^1.2 到~N^3.4之间。一般SMO比chunking算法有一阶的优势。
线性SVM比非线性SVM的smo算法要慢一些。所以，据原著论文的测试，SMO算法，在线性svm上快1000倍，在非线性上快15倍。

对于SVM的SMO算法的内存需求时线性的，这使得其能适用比较大的训练集。

所以，如果数据量很大，SVM的训练时间就会比较长，如垃圾邮件的分类检测，没有使用SVM分类器，而是使用了简单的naive bayes分类器，或者是使用逻辑回归模型分类。

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其他观点：
SVM在小样本训练集上能够得到比其它算法好很多的结果。支持向量机之所以成为目前最常用，效果最好的分类器之一，在于其优秀的泛化能力，这是是因为其本身的优化目标是结构化风险最小，而不是经验风险最小，因此，通过margin的概念，得到对数据分布的结构化描述，因此减低了对数据规模和数据分布的要求。

SVM也并不是在任何场景都比其他算法好，对于每种应用，最好尝试多种算法，然后评估结果。如SVM在邮件分类上，还不如逻辑回归、KNN、bayes的效果好。

SVM各个参数的含义？
sigma: rbf核函数的参数，用于生成高维的特征，常用的有几种核函数，如径向核函数，线性核函数，这个也需要凭经验来选择。
C：惩罚因子。在最优化函数中，对离群点的惩罚因子，也是对离群点的重视程度体现。这个也是凭经验和实验来选择。

SVM种类：
C-SVM：
分类型SVM，需要调优的参数有惩罚因子C，核函数参数。 C的取值 10^-4, 10^-3, 10^-2,... 到 1, 5... 依次变大

nu-SVM：
分类型SVM, 在一定程度上与C-SVM相同，将惩罚因子C换成了因子nu。其最优化的函数略有不同。nu的取值是0-1，一般取值从0.1到0.8. 0代表样本落入间隔内的数目最小的情况，1代表样本可以落入间隔可以很多的情况。

wiki上的原话：
The
main motivation for the nu versions of SVM is that it has a has a more meaningful interpretation. This is because nu represents an upper bound on the fraction of training samples which are errors (badly predicted) and a lower bound on the fraction of samples
which are support vectors. Some users feel nu is more intuitive to use than C or epsilon. 

C-SVR:
用于回归的svm模型
nu-SVR：同上

4. 其他相关概念：

VC维：将N个点进行分类，如分成两类，那么可以有2^N种分法，即可以理解成有2^N个学习问题。若存在一个假设H，能准确无误地将2^N种问题进行分类。那么这些点的数量N，就是H的VC维。 这个定义真生硬，只能先记住。一个实例就平面上3个点的线性划分的VC维是3. 而平面上 VC维不是4，是因为不存在4个样本点，能被划分成2^4 = 16种划分法，因为对角的两对点不能被线性划分为两类。更一般地，在r 维空间中，线性决策面的VC维为r+1。

置信风险： 分类器对 未知样本进行分类，得到的误差。也叫期望风险。
经验风险： 训练好的分类器，对训练样本重新分类得到的误差。即样本误差
结构风险：[置信风险， 经验风险], 如(置信风险 + 经验风险) / 2

置信风险的影响因素有： 训练样本数目和分类函数的VC维。训练样本数目，即样本越多，置信风险就可以比较小；VC维越大，问题的解的种类就越多，推广能力就越差，置信风险也就越大。因此，提高样本数，降低VC维，才能降低置信风险。

而一般的分类函数，需要提高VC维，即样本的特征数据量，来降低经验风险，如多项式分类函数。如此就会导致置信风险变高，结构风险也相应变高。过学习overfit，就是置信风险变高的缘故。

结构风险最小化SRM(structured risk minimize)就是同时考虑经验风险与结构风险。在小样本情况下，取得比较好的分类效果。保证分类精度（经验风险）的同时，降低学习机器的 VC 维，可以使学习机器在整个样本集上的期望风险得到控制，这应该就是SRM的原则。

当训练样本给定时，分类间隔越大，则对应的分类超平面集合的 VC 维就越小。（分类间隔的要求，对VC维的影响）

根据结构风险最小化原则，前者是保证经验风险（经验风险和期望风险依赖于学习机器函数族的选择）最小，而后者使分类间隔最大，导致 VC 维最小，实际上就是使推广性的界中的置信范围最小，从而达到使真实风险最小。

训练样本在线性可分的情况下，全部样本能被正确地分类（咦这个不就是传说中的yi*(w*xi+b)）>=1的条件吗），即经验风险Remp 为 0 的前提下，通过对分类间隔最大化（咦，这个就是Φ（w）＝(1/2)*w*w嘛），使分类器获得最好的推广性能。

对于线性不可分的状况，可以允许错分。即对于离群点降低分类间隔。将距离原来的分类面越远，离群就越严重，这个距离，可以用一个值--松弛变量来表示，只有离群点才有松弛变量。当然，要对这个值加以限制，即在最小化函数里，加入一个惩罚项，里面还有一个可以人为设定的惩罚项C。当C无限的大，那么就退化为硬间隔问题，不允许有离群点，问题可能无解。若C=0，无视离群点。有时C值需要多次尝试，获取一个较好的值。 这个里面可分析还很多，后面再学习。

核函数作用：将完全不可分问题，转换为可分或达到近似可分的状态。
松弛变量：解决近似可分的问题。