cv3123 高精度练习之超大整数乘法(FFT)
2017-08-24 10:12
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题目描述 Description
给出两个正整数A和B,计算A*B的值。保证A和B的位数不超过100000位。
输入描述 Input Description
读入两个用空格隔开的正整数
输出描述 Output Description
输出A*B的值
样例输入 Sample Input
4 9
样例输出 Sample Output
36
数据范围及提示 Data Size & Hint
两个正整数的位数不超过100000位
分析:
先抛开大整数
我们发现如果是两个多项式
(形如a0*x^0+a1*x^1+a2*x^2+a3*x^3+…+an*x^n)
两个多项式相乘模拟的就是乘法竖式
这道题中大整数的位数上了6位数
如果暴力相乘,就是N^2的复杂度,显然jj
那我们就需要一种快速计算类似多项式乘法的算法
FFT!!!
我们把两个整数抽象成多项式的系数
套FFT模板就可以了
要倒序存储,因为我们在进行FFT的时候
模板也是规定a[i]记录x^i的系数
明显就是要我们根据幂从小到大存储
因为最后答案是一个数
我们在计算FFT的时候每一位上的系数可以>=10
但是十进制数字不行啊
所以要处理一下进位
给出两个正整数A和B,计算A*B的值。保证A和B的位数不超过100000位。
输入描述 Input Description
读入两个用空格隔开的正整数
输出描述 Output Description
输出A*B的值
样例输入 Sample Input
4 9
样例输出 Sample Output
36
数据范围及提示 Data Size & Hint
两个正整数的位数不超过100000位
分析:
先抛开大整数
我们发现如果是两个多项式
(形如a0*x^0+a1*x^1+a2*x^2+a3*x^3+…+an*x^n)
两个多项式相乘模拟的就是乘法竖式
这道题中大整数的位数上了6位数
如果暴力相乘,就是N^2的复杂度,显然jj
那我们就需要一种快速计算类似多项式乘法的算法
FFT!!!
我们把两个整数抽象成多项式的系数
套FFT模板就可以了
tip
在存储大整数的时候要倒序存储,因为我们在进行FFT的时候
模板也是规定a[i]记录x^i的系数
明显就是要我们根据幂从小到大存储
因为最后答案是一个数
我们在计算FFT的时候每一位上的系数可以>=10
但是十进制数字不行啊
所以要处理一下进位
这里写代码片 #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; const int N=2000010; const double pi=acos(-1.0); struct node{ double x,y; node (double xx=0,double yy=0) { x=xx;y=yy; } }; node a ,b ,omega ,a_omega ; int n,m,fn,num ; char c[N>>1]; node operator +(const node &a,const node &b){return node (a.x+b.x,a.y+b.y);} node operator -(const node &a,const node &b){return node (a.x-b.x,a.y-b.y);} node operator *(const node &a,const node &b){return node (a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);} void init(int n) { for (int i=0;i<n;i++) { omega[i]=node(cos(2.0*pi*i/n),sin(2.0*pi*i/n)); a_omega[i]=node(cos(2.0*pi*i/n),-sin(2.0*pi*i/n)); } } void FFT(int n,node *a,node *w) { int i,j=0,k; for (i=0;i<n;i++) { if (i>j) swap(a[i],a[j]); for (int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1); } for (i=2;i<=n;i<<=1) { int m=i>>1; for (j=0;j<n;j+=i) for (k=0;k<m;k++) { node z=a[j+k+m]*w[n/i*k]; a[j+k+m]=a[j+k]-z; a[j+k]=a[j+k]+z; } } } int main() { scanf("%s",&c); n=strlen(c)-1; for (int i=0;i<=n;i++) a[n-i].x=(double)(c[i]-'0'); //逆序存储,在多项式中也是从次数低到次数高存储 scanf("%s",&c); m=strlen(c)-1; for (int i=0;i<=m;i++) b[m-i].x=(double)(c[i]-'0'); fn=1; while (fn<=m+n) fn<<=1; init(fn); FFT(fn,a,omega); FFT(fn,b,omega); for (int i=0;i<=fn;i++) a[i]=a[i]*b[i]; FFT(fn,a,a_omega); for (int i=0;i<=fn;i++) num[i]=(int)(a[i].x/fn+0.5); for (int i=0;i<=fn;i++) { num[i+1]+=num[i]/10; num[i]%=10; } int len=m+n+1; while (num[len]==0) len--; for (int i=len;i>=0;i--) printf("%d",num[i]); return 0; }
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