基于FPGA的CORDIC算法实现——Verilog版
2017-08-21 20:07
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目前,学习与开发FPGA的程序员们大多使用的是Verilog HDL语言(以下简称为Verilog),关于Verilog的诸多优点一休哥就不多介绍了,在此,我们将重点放在Verilog的运算操作上。
我们都知道,在Verilog中,运算一般分为逻辑运算(与或非等)与算术运算(加减乘除等)。而在一开始学习Verilog时,老司机一定会提醒我们,“切记,千万别用‘/’除、‘%’取模(有的也叫取余)和‘**’幂。”这话说的不无道理,因为这三个运算是不可综合的。但,需清楚理解的是,不可综合的具体意思为不能综合为简单的模块,当我们在程序中调用了这些运算时,‘/’除和‘%’取模在Quartus软件中是可以综合的,因此可以正常调用运行,但是会消耗一些逻辑资源,而且会产生延时,即这两个运算的处理时间会很长,可能会大于时序控制时钟的单周期时间。此时呢,我们会建议你调用IP核来实现运算操作,虽然这样也会消耗许多逻辑资源,但产生的延时相对较小满足了你基本的需求。
问题好像迎刃而解了,可是仔细一想,除了这些运算,我们还剩下什么?对呀,三角函数,反三角函数,对数函数,指数函数呢,这些函数我们在高中就学习了的呀,难道在FPGA中就没有用武之地吗?有人会说,查找表呗,首先将某个运算的所有可能的输入与输出对一一罗列出来,然后放进Rom中,然后根据输入查表得到输出。这个方法虽然有效的避免了延时问题,却是一个十分消耗资源的方法,不适合资源紧张的设计。那么,就真的没有办法了吗?
答案就是咱们今天的标题了,CORDIC,而且CORDIC是一个比较全能的算法,通过这一原理,我们可以实现三角函数,反三角函数,对数函数,指数函数等多种运算。接下来,一休哥就带领大家来学习CORDIC的原理吧。(题外话:请相信一休哥,本文不会让你感到太多痛苦~)
本文将分三个小部分来展开介绍:
1、CORDIC的基本原理介绍
2、CORDIC的具体操作流程介绍
3、CORDIC的旋转模式——Verilog仿真
本文涉及到的全部资料链接:
链接:http://pan.baidu.com/s/1gfrJzMj 密码:x92u
首先,我们先从旋转模式下的圆坐标系讲起,这也是CORDIC方法最初的用途。
于是可以得到P1和P2的关系。
x2 = x1cosθ – y1sinθ = cosθ(x1 – y1tanθ)
y2 = y1cosθ + x1sinθ = cosθ(y1 +x1tanθ)
以上就是CORDIC的几何原理部分,而我们该如何深入理解这个几何原理的真正含义呢?
从原理中,我们可以知道,当已知一个点P1的坐标,并已知该点P1旋转的角度θ,则可以根据上述公式求得目标点P2的坐标。然后,麻烦来了,我们需要用FPGA去执行上述运算操作,而FPGA的Verilog语言根本不支持三角函数运算。因此,我们需要对上述式子进行简化操作,将复杂的运算操作转换为一种单一的“迭代位移”算法。那么,接下来我们介绍优化算法部分。
然后我们需要修改几何原理部分的假设,假设在xy坐标系中有一个点P0(x0,y0),将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn(xn,yn)。
于是可以得到P0和Pn的关系。
xn = x0cosθ – y0sinθ = cosθ(x0 – y0tanθ)
yn = y0cosθ + x0sinθ = cosθ(y0 + x0tanθ)
然后,我们将旋转角θ细化成θi,由于每次的旋转角度θi是固定不变的(因为满足tanθi = 2-i),如果一直朝着一个方向旋转则∑θi一定会超过θ(如果θ在[-99.7°,99.7°]范围内)。因此我们需要对θi设定一个方向值di。如果旋转角已经大于θ,则di为-1,表示下次旋转为顺时针,即向θ靠近;如果旋转角已经小于θ,则di为1,表示下次旋转为逆时针,即也向θ靠近。然后我们可以得到每次旋转的角度值diθi,设角度剩余值为zi+1,则有zi+1 = zi - diθi,其中z0为θ。如此随着i的增大,角度剩余值zi+1将会趋近于0,此时运算结束。(注:可以发现,di与zi的符号位相同)
第一次旋转θ0,d0为旋转方向:
x1 = cosθ0(x0 – d0y0tanθ0)
y1 = cosθ0(y0 + d0x0tanθ0)
第二次旋转θ1,d1为旋转方向:
x2 = cosθ1(x1 – d1y1tanθ1) = cosθ1cosθ0(x0 – d0y0tanθ0 – d1y0tanθ1 – d1d0 x0tanθ1 tanθ0)
y2 = cosθ1(y1 + d1x1tanθ1) = cosθ1cosθ0(y0 + d0x0tanθ0 + d1x0tanθ1 – d1d0y0tanθ1 tanθ0)
大家可能已经发现了,在我们旋转的过程中,式子里一直会有tanθi和cosθi,而每次都可以提取出cosθi。虽然我们的FPGA无法计算tanθi,但我们知道tanθi = 2-i,因此可以执行和tanθi效果相同的移位操作2-i来取代tanθi。而对于cosθi,我们可以事先全部提取出来,然后等待迭代结束之后(角度剩余值zi+1趋近于0,一般当系统设置最大迭代次数为16时zi+1已经很小了),然后计算出∏cosθi的值即可。
总结一下:
迭代公式有三:
xi+1 = xi – d iy i2-i,提取了cosθi,2-i等效替换了tanθi之后
yi+1 = yi + d ix i2-i,提取了cosθi,2-i等效替换了tanθi之后
zi+1 = zi - diθi
其中i从0开始迭代,假设当i = n-1时,zn趋近于0,迭代结束。然后对结果乘上∏cosθi(i从0至n-1),于是得到点Pn(xn∏cosθi,yn∏cosθi),此时的点Pn就近似等于之前假设中的点Pn(xn,yn)了,所以此时的点Pn同样满足之前假设得到的公式:
xn∏cosθi = x0cosθ – y0sinθ
yn∏cosθi = y0cosθ + x0sinθ
由于i从0至n-1,所以上式可以转化成下式:
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
注意:上式中的xn,yn是经过迭代后的结果,而不是之前假设中的点Pn(xn,yn)。了解这点是十分重要的。
根据高中学的三角函数关系,可以知道cosθi = 1/[(1+tan2θi)^0.5] = 1/[(1+2-2i)^0.5],而1/[(1+2-2i)^0.5]的极值为1,因此我们可以得出一个结论:当i的次数很大时,∏cosθi的值趋于一个常数。
关于如何计算∏cosθi的代码如下所示:
从上表也可以看出,当迭代次数为16,i=15时,cosθi的值已经非常趋近于1了,∏cosθi的值则约等于0.607253,1/∏cosθi为1.64676。所以当迭代次数等于16时,通过迭代得到的点Pn坐标已经非常接近之前假设中的点Pn。所以,当迭代次数等于16时,这个式子是成立的。
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
此时,已知条件有三个x0、y0和θ。通过16次迭代,我们可以得到xn和yn。而式中的∏cosθi是个随i变化的值,我们可以预先将其值存入系统中。
然后,我们人为设置x0 = ∏cosθi,y0 = 0,则根据等式,xn = cosθ,yn = sinθ。其中1/∏cosθi的值我们也同样预先存入系统中。如此,我们就实现了正弦和余弦操作了。
1、 设置迭代次数为16,则x0 = 0.607253,y0 = 0,并输入待计算的角度θ,θ在[-99.7°,99.7°]范围内。
2、 根据三个迭代公式进行迭代,i从0至15:
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
注:z0 = θ,di与zi同符号。
3、 经过16次迭代计算后,得到的x16 和y16分别为cosθ和sinθ。
至此,关于CORDIC的三角函数cosθ和sinθ的计算原理讲解结束。
关于CORDIC算法计算三角函数cosθ和sinθ的MATLAB代码如下所示:
在这里,我们需从头来过了,假设在xy坐标系中有一个点P0(x0,y0),将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn(xn,0),θ在[-99.7°,99.7°]范围内。
于是可以得到P0和Pn的关系:
xn = x0cosθ – y0sinθ = cosθ(x0 – y0tanθ)
yn = y0cosθ + x0sinθ = cosθ(y0 + x0tanθ) = 0
如何得到Pn(xn,yn)一直是我们的目标。而此时,我们还是列出那几个等式:
根据三个迭代公式进行迭代,i从0至15:
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
不过此时我们尝试改变初始条件:
设置迭代次数为16,则x0 = x,y0 = y,z0 = 0,di与yi的符号相反。表示,经过n次旋转,使Pn靠近x轴。
因此,当迭代结束之后,Pn将近似接近x轴,此时yn = 0,可知旋转了θ,即zn = θ = arctan(y/x)。
而
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
因此,可得ycosθ + xsinθ = 0,
xn = 1/∏cosθi(xcosθ – ysinθ) = 1/∏cosθi{ [ (xcosθ – ysinθ)^2]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2cos2θ + y2sin2θ – 2xysinθcosθ]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2cos2θ + y2sin2θ + y2 cos2θ + x2sin2θ]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2 + y2]^(1/2)}
由上可以知道,我们通过迭代,就算出了反正切函数zn = θ = arctan(y/x),以及向量OP0(x,y)的长度 d = xn * ∏cosθi。
关于反正切函数,一休哥要多啰嗦几句了,由于θ在[-99.7°,99.7°]范围内,所以我们输入向量OP0(x,y)时,需要保证其在第一、四象限。
关于CORDIC算法计算反三角函数arctanθ的MATLAB代码如下所示:
为了避免浮点运算,为了满足精度要求,一休哥对每个变量都放大了2^16倍,并且引入了有符号型reg和算术右移。
关于Verilog代码的编写,一休哥已经不想多说了,因为代码是完全符合我之前所讲的CORDIC的原理与MATLAB仿真代码。相信大家在看完本文的前两个部分之后,对Verilog的理解应该不是难事儿。
以下是testbench文件代码
最后来一张效果图,可以发现,我们的16级流水线已经正常的运行起来了,由于我们仿真输入的相位值为0-359度循环,因此sin和cos也循环了~~~
我们都知道,在Verilog中,运算一般分为逻辑运算(与或非等)与算术运算(加减乘除等)。而在一开始学习Verilog时,老司机一定会提醒我们,“切记,千万别用‘/’除、‘%’取模(有的也叫取余)和‘**’幂。”这话说的不无道理,因为这三个运算是不可综合的。但,需清楚理解的是,不可综合的具体意思为不能综合为简单的模块,当我们在程序中调用了这些运算时,‘/’除和‘%’取模在Quartus软件中是可以综合的,因此可以正常调用运行,但是会消耗一些逻辑资源,而且会产生延时,即这两个运算的处理时间会很长,可能会大于时序控制时钟的单周期时间。此时呢,我们会建议你调用IP核来实现运算操作,虽然这样也会消耗许多逻辑资源,但产生的延时相对较小满足了你基本的需求。
问题好像迎刃而解了,可是仔细一想,除了这些运算,我们还剩下什么?对呀,三角函数,反三角函数,对数函数,指数函数呢,这些函数我们在高中就学习了的呀,难道在FPGA中就没有用武之地吗?有人会说,查找表呗,首先将某个运算的所有可能的输入与输出对一一罗列出来,然后放进Rom中,然后根据输入查表得到输出。这个方法虽然有效的避免了延时问题,却是一个十分消耗资源的方法,不适合资源紧张的设计。那么,就真的没有办法了吗?
答案就是咱们今天的标题了,CORDIC,而且CORDIC是一个比较全能的算法,通过这一原理,我们可以实现三角函数,反三角函数,对数函数,指数函数等多种运算。接下来,一休哥就带领大家来学习CORDIC的原理吧。(题外话:请相信一休哥,本文不会让你感到太多痛苦~)
本文将分三个小部分来展开介绍:
1、CORDIC的基本原理介绍
2、CORDIC的具体操作流程介绍
3、CORDIC的旋转模式——Verilog仿真
本文涉及到的全部资料链接:
链接:http://pan.baidu.com/s/1gfrJzMj 密码:x92u
一、CORDIC的基本原理介绍
CORDIC算法是一个“化繁为简”的算法,将许多复杂的运算转化为一种“仅需要移位和加法”的迭代操作。CORDIC算法有旋转和向量两个模式,分别可以在圆坐标系、线性坐标系和双曲线坐标系使用,从而可以演算出8种运算,而结合这8种运算也可以衍生出其他许多运算。下表展示了8种运算在CORDIC算法中实现的条件。首先,我们先从旋转模式下的圆坐标系讲起,这也是CORDIC方法最初的用途。
1、CORDIC的几何原理介绍
假设在xy坐标系中有一个点P1(x1,y1),将P1点绕原点旋转θ角后得到点P2(x2,y2)。于是可以得到P1和P2的关系。
x2 = x1cosθ – y1sinθ = cosθ(x1 – y1tanθ)
y2 = y1cosθ + x1sinθ = cosθ(y1 +x1tanθ)
以上就是CORDIC的几何原理部分,而我们该如何深入理解这个几何原理的真正含义呢?
从原理中,我们可以知道,当已知一个点P1的坐标,并已知该点P1旋转的角度θ,则可以根据上述公式求得目标点P2的坐标。然后,麻烦来了,我们需要用FPGA去执行上述运算操作,而FPGA的Verilog语言根本不支持三角函数运算。因此,我们需要对上述式子进行简化操作,将复杂的运算操作转换为一种单一的“迭代位移”算法。那么,接下来我们介绍优化算法部分。
2、CORDIC的优化算法介绍
我们先介绍算法的优化原理:将旋转角θ细化成若干分固定大小的角度θi,并且规定θi满足tanθi = 2-i,因此∑θi的值在[-99.7°,99.7°]范围内,如果旋转角θ超出此范围,则运用简单的三角运算操作即可(加减π)。然后我们需要修改几何原理部分的假设,假设在xy坐标系中有一个点P0(x0,y0),将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn(xn,yn)。
于是可以得到P0和Pn的关系。
xn = x0cosθ – y0sinθ = cosθ(x0 – y0tanθ)
yn = y0cosθ + x0sinθ = cosθ(y0 + x0tanθ)
然后,我们将旋转角θ细化成θi,由于每次的旋转角度θi是固定不变的(因为满足tanθi = 2-i),如果一直朝着一个方向旋转则∑θi一定会超过θ(如果θ在[-99.7°,99.7°]范围内)。因此我们需要对θi设定一个方向值di。如果旋转角已经大于θ,则di为-1,表示下次旋转为顺时针,即向θ靠近;如果旋转角已经小于θ,则di为1,表示下次旋转为逆时针,即也向θ靠近。然后我们可以得到每次旋转的角度值diθi,设角度剩余值为zi+1,则有zi+1 = zi - diθi,其中z0为θ。如此随着i的增大,角度剩余值zi+1将会趋近于0,此时运算结束。(注:可以发现,di与zi的符号位相同)
第一次旋转θ0,d0为旋转方向:
x1 = cosθ0(x0 – d0y0tanθ0)
y1 = cosθ0(y0 + d0x0tanθ0)
第二次旋转θ1,d1为旋转方向:
x2 = cosθ1(x1 – d1y1tanθ1) = cosθ1cosθ0(x0 – d0y0tanθ0 – d1y0tanθ1 – d1d0 x0tanθ1 tanθ0)
y2 = cosθ1(y1 + d1x1tanθ1) = cosθ1cosθ0(y0 + d0x0tanθ0 + d1x0tanθ1 – d1d0y0tanθ1 tanθ0)
大家可能已经发现了,在我们旋转的过程中,式子里一直会有tanθi和cosθi,而每次都可以提取出cosθi。虽然我们的FPGA无法计算tanθi,但我们知道tanθi = 2-i,因此可以执行和tanθi效果相同的移位操作2-i来取代tanθi。而对于cosθi,我们可以事先全部提取出来,然后等待迭代结束之后(角度剩余值zi+1趋近于0,一般当系统设置最大迭代次数为16时zi+1已经很小了),然后计算出∏cosθi的值即可。
总结一下:
迭代公式有三:
xi+1 = xi – d iy i2-i,提取了cosθi,2-i等效替换了tanθi之后
yi+1 = yi + d ix i2-i,提取了cosθi,2-i等效替换了tanθi之后
zi+1 = zi - diθi
其中i从0开始迭代,假设当i = n-1时,zn趋近于0,迭代结束。然后对结果乘上∏cosθi(i从0至n-1),于是得到点Pn(xn∏cosθi,yn∏cosθi),此时的点Pn就近似等于之前假设中的点Pn(xn,yn)了,所以此时的点Pn同样满足之前假设得到的公式:
xn∏cosθi = x0cosθ – y0sinθ
yn∏cosθi = y0cosθ + x0sinθ
由于i从0至n-1,所以上式可以转化成下式:
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
注意:上式中的xn,yn是经过迭代后的结果,而不是之前假设中的点Pn(xn,yn)。了解这点是十分重要的。
根据高中学的三角函数关系,可以知道cosθi = 1/[(1+tan2θi)^0.5] = 1/[(1+2-2i)^0.5],而1/[(1+2-2i)^0.5]的极值为1,因此我们可以得出一个结论:当i的次数很大时,∏cosθi的值趋于一个常数。
关于如何计算∏cosθi的代码如下所示:
close all; clear; clc; % 初始化 die = 16;%迭代次数 jiao = zeros(die,1);%每次旋转的角度 cos_value = zeros(die,1);%每次旋转的角度的余弦值 K = zeros(die,1);%余弦值的N元乘积 K_1 = zeros(die,1);%余弦值的N元乘积的倒数 for i = 1 : die a = 2^(-(i-1)); jiao(i) = atan(a); cos_value(i) = cos(jiao(i)); if( i == 1) K(i) = cos_value(i); K_1(i 16e7a ) = 1/K(i); else K(i) = K(i-1)*cos_value(i); K_1(i) = 1/K(i); end end jiao = vpa(rad2deg(jiao)*256,10) cos_value = vpa(cos_value,10) K = vpa(K,10) K_1 = vpa(K_1,10)
从上表也可以看出,当迭代次数为16,i=15时,cosθi的值已经非常趋近于1了,∏cosθi的值则约等于0.607253,1/∏cosθi为1.64676。所以当迭代次数等于16时,通过迭代得到的点Pn坐标已经非常接近之前假设中的点Pn。所以,当迭代次数等于16时,这个式子是成立的。
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
此时,已知条件有三个x0、y0和θ。通过16次迭代,我们可以得到xn和yn。而式中的∏cosθi是个随i变化的值,我们可以预先将其值存入系统中。
然后,我们人为设置x0 = ∏cosθi,y0 = 0,则根据等式,xn = cosθ,yn = sinθ。其中1/∏cosθi的值我们也同样预先存入系统中。如此,我们就实现了正弦和余弦操作了。
二、CORDIC的具体操作流程介绍
1、CORDIC的旋转模式
由于算法较复杂,一休哥再总结一些具体的操作流程。1、 设置迭代次数为16,则x0 = 0.607253,y0 = 0,并输入待计算的角度θ,θ在[-99.7°,99.7°]范围内。
2、 根据三个迭代公式进行迭代,i从0至15:
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
注:z0 = θ,di与zi同符号。
3、 经过16次迭代计算后,得到的x16 和y16分别为cosθ和sinθ。
至此,关于CORDIC的三角函数cosθ和sinθ的计算原理讲解结束。
关于CORDIC算法计算三角函数cosθ和sinθ的MATLAB代码如下所示:
close all; clear; clc; % 初始化 die = 16;%迭代次数 x = zeros(die+1,1); y = zeros(die+1,1); z = zeros(die+1,1); x(1) = 0.607253;%初始设置 z(1) = pi/4;%待求角度θ %迭代操作 for i = 1:die if z(i) >= 0 d = 1; else d = -1; end x(i+1) = x(i) - d*y(i)*(2^(-(i-1))); y(i+1) = y(i) + d*x(i)*(2^(-(i-1))); z(i+1) = z(i) - d*atan(2^(-(i-1))); end cosa = vpa(x(17),10) sina = vpa(y(17),10) c = vpa(z(17),10)
2、CORDIC的向量模式
讲完了旋转模式后,我们接着讲讲向量模式下的圆坐标系。在这里,我们需从头来过了,假设在xy坐标系中有一个点P0(x0,y0),将P0点绕原点旋转θ角后得到点Pn(xn,0),θ在[-99.7°,99.7°]范围内。
于是可以得到P0和Pn的关系:
xn = x0cosθ – y0sinθ = cosθ(x0 – y0tanθ)
yn = y0cosθ + x0sinθ = cosθ(y0 + x0tanθ) = 0
如何得到Pn(xn,yn)一直是我们的目标。而此时,我们还是列出那几个等式:
根据三个迭代公式进行迭代,i从0至15:
xi+1 = xi – d iy i2-i
yi+1 = yi + d ix i2-i
zi+1 = zi - diθi
不过此时我们尝试改变初始条件:
设置迭代次数为16,则x0 = x,y0 = y,z0 = 0,di与yi的符号相反。表示,经过n次旋转,使Pn靠近x轴。
因此,当迭代结束之后,Pn将近似接近x轴,此时yn = 0,可知旋转了θ,即zn = θ = arctan(y/x)。
而
xn = 1/∏cosθi(x0cosθ – y0sinθ),(其中i从0至n-1)
yn = 1/∏cosθi(y0cosθ + x0sinθ),(其中i从0至n-1)
因此,可得ycosθ + xsinθ = 0,
xn = 1/∏cosθi(xcosθ – ysinθ) = 1/∏cosθi{ [ (xcosθ – ysinθ)^2]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2cos2θ + y2sin2θ – 2xysinθcosθ]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2cos2θ + y2sin2θ + y2 cos2θ + x2sin2θ]^(1/2)}
= 1/∏cosθi{ [ x2 + y2]^(1/2)}
由上可以知道,我们通过迭代,就算出了反正切函数zn = θ = arctan(y/x),以及向量OP0(x,y)的长度 d = xn * ∏cosθi。
关于反正切函数,一休哥要多啰嗦几句了,由于θ在[-99.7°,99.7°]范围内,所以我们输入向量OP0(x,y)时,需要保证其在第一、四象限。
关于CORDIC算法计算反三角函数arctanθ的MATLAB代码如下所示:
close all; clear; clc; % 初始化 die = 16;%迭代次数 x = zeros(die+1,1); y = zeros(die+1,1); z = zeros(die+1,1); x(1) = 100;%初始设置 y(1) = 200;%初始设置 k = 0.607253;%初始设置 %迭代操作 for i = 1:die if y(i) >= 0 d = -1; else d = 1; end x(i+1) = x(i) - d*y(i)*(2^(-(i-1))); y(i+1) = y(i) + d*x(i)*(2^(-(i-1))); z(i+1) = z(i) - d*atan(2^(-(i-1))); end d = vpa(x(17)*k,10) a = vpa(y(17),10) c = vpa(rad2deg(z(17)),10)
三、CORDIC的旋转模式——Verilog仿真
一休哥在编写CORDIC算法时,采用了16级流水线,仿真效果十分明显。以下是顶层文件的代码。为了避免浮点运算,为了满足精度要求,一休哥对每个变量都放大了2^16倍,并且引入了有符号型reg和算术右移。
关于Verilog代码的编写,一休哥已经不想多说了,因为代码是完全符合我之前所讲的CORDIC的原理与MATLAB仿真代码。相信大家在看完本文的前两个部分之后,对Verilog的理解应该不是难事儿。
module Cordic_Test ( CLK_50M,RST_N, Phase, Sin,Cos,Error ); input CLK_50M; input RST_N; input [31:0] Phase; output [31:0] Sin; output [31:0] Cos; output [31:0] Error; `define rot0 32'd2949120 //45度*2^16 `define rot1 32'd1740992 //26.5651度*2^16 `define rot2 32'd919872 //14.0362度*2^16 `define rot3 32'd466944 //7.1250度*2^16 `define rot4 32'd234368 //3.5763度*2^16 `define rot5 32'd117312 //1.7899度*2^16 `define rot6 32'd58688 //0.8952度*2^16 `define rot7 32'd29312 //0.4476度*2^16 `define rot8 32'd14656 //0.2238度*2^16 `define rot9 32'd7360 //0.1119度*2^16 `define rot10 32'd3648 //0.0560度*2^16 `define rot11 32'd1856 //0.0280度*2^16 `define rot12 32'd896 //0.0140度*2^16 `define rot13 32'd448 //0.0070度*2^16 `define rot14 32'd256 //0.0035度*2^16 `define rot15 32'd128 //0.0018度*2^16 parameter Pipeline = 16; parameter K = 32'h09b74; //K=0.607253*2^16,32'h09b74, reg signed [31:0] Sin; reg signed [31:0] Cos; reg signed [31:0] Error; reg signed [31:0] x0=0,y0=0,z0=0; reg signed [31:0] x1=0,y1=0,z1=0; reg signed [31:0] x2=0,y2=0,z2=0; reg signed [31:0] x3=0,y3=0,z3=0; reg signed [31:0] x4=0,y4=0,z4=0; reg signed [31:0] x5=0,y5=0,z5=0; reg signed [31:0] x6=0,y6=0,z6=0; reg signed [31:0] x7=0,y7=0,z7=0; reg signed [31:0] x8=0,y8=0,z8=0; reg signed [31:0] x9=0,y9=0,z9=0; reg signed [31:0] x10=0,y10=0,z10=0; reg signed [31:0] x11=0,y11=0,z11=0; reg signed [31:0] x12=0,y12=0,z12=0; reg signed [31:0] x13=0,y13=0,z13=0; reg signed [31:0] x14=0,y14=0,z14=0; reg signed [31:0] x15=0,y15=0,z15=0; reg signed [31:0] x16=0,y16=0,z16=0; reg [ 1:0] Quadrant [Pipeline:0]; always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x0 <= 1'b0; y0 <= 1'b0; z0 <= 1'b0; end else begin x0 <= K; y0 <= 32'd0; z0 <= Phase[15:0] << 16; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x1 <= 1'b0; y1 <= 1'b0; z1 <= 1'b0; end else if(z0[31]) begin x1 <= x0 + y0; y1 <= y0 - x0; z1 <= z0 + `rot0; end else begin x1 <= x0 - y0; y1 <= y0 + x0; z1 <= z0 - `rot0; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x2 <= 1'b0; y2 <= 1'b0; z2 <= 1'b0; end else if(z1[31]) begin x2 <= x1 + (y1 >>> 1); y2 <= y1 - (x1 >>> 1); z2 <= z1 + `rot1; end else begin x2 <= x1 - (y1 >>> 1); y2 <= y1 + (x1 >>> 1); z2 <= z1 - `rot1; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x3 <= 1'b0; y3 <= 1'b0; z3 <= 1'b0; end else if(z2[31]) begin x3 <= x2 + (y2 >>> 2); y3 <= y2 - (x2 >>> 2); z3 <= z2 + `rot2; end else begin x3 <= x2 - (y2 >>> 2); y3 <= y2 + (x2 >>> 2); z3 <= z2 - `rot2; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x4 <= 1'b0; y4 <= 1'b0; z4 <= 1'b0; end else if(z3[31]) begin x4 <= x3 + (y3 >>> 3); y4 <= y3 - (x3 >>> 3); z4 <= z3 + `rot3; end else begin x4 <= x3 - (y3 >>> 3); y4 <= y3 + (x3 >>> 3); z4 <= z3 - `rot3; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x5 <= 1'b0; y5 <= 1'b0; z5 <= 1'b0; end else if(z4[31]) begin x5 <= x4 + (y4 >>> 4); y5 <= y4 - (x4 >>> 4); z5 <= z4 + `rot4; end else begin x5 <= x4 - (y4 >>> 4); y5 <= y4 + (x4 >>> 4); z5 <= z4 - `rot4; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x6 <= 1'b0; y6 <= 1'b0; z6 <= 1'b0; end else if(z5[31]) begin x6 <= x5 + (y5 >>> 5); y6 <= y5 - (x5 >>> 5); z6 <= z5 + `rot5; end else begin x6 <= x5 - (y5 >>> 5); y6 <= y5 + (x5 >>> 5); z6 <= z5 - `rot5; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x7 <= 1'b0; y7 <= 1'b0; z7 <= 1'b0; end else if(z6[31]) begin x7 <= x6 + (y6 >>> 6); y7 <= y6 - (x6 >>> 6); z7 <= z6 + `rot6; end else begin x7 <= x6 - (y6 >>> 6); y7 <= y6 + (x6 >>> 6); z7 <= z6 - `rot6; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x8 <= 1'b0; y8 <= 1'b0; z8 <= 1'b0; end else if(z7[31]) begin x8 <= x7 + (y7 >>> 7); y8 <= y7 - (x7 >>> 7); z8 <= z7 + `rot7; end else begin x8 <= x7 - (y7 >>> 7); y8 <= y7 + (x7 >>> 7); z8 <= z7 - `rot7; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x9 <= 1'b0; y9 <= 1'b0; z9 <= 1'b0; end else if(z8[31]) begin x9 <= x8 + (y8 >>> 8); y9 <= y8 - (x8 >>> 8); z9 <= z8 + `rot8; end else begin x9 <= x8 - (y8 >>> 8); y9 <= y8 + (x8 >>> 8); z9 <= z8 - `rot8; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x10 <= 1'b0; y10 <= 1'b0; z10 <= 1'b0; end else if(z9[31]) begin x10 <= x9 + (y9 >>> 9); y10 <= y9 - (x9 >>> 9); z10 <= z9 + `rot9; end else begin x10 <= x9 - (y9 >>> 9); y10 <= y9 + (x9 >>> 9); z10 <= z9 - `rot9; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x11 <= 1'b0; y11 <= 1'b0; z11 <= 1'b0; end else if(z10[31]) begin x11 <= x10 + (y10 >>> 10); y11 <= y10 - (x10 >>> 10); z11 <= z10 + `rot10; end else begin x11 <= x10 - (y10 >>> 10); y11 <= y10 + (x10 >>> 10); z11 <= z10 - `rot10; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x12 <= 1'b0; y12 <= 1'b0; z12 <= 1'b0; end else if(z11[31]) begin x12 <= x11 + (y11 >>> 11); y12 <= y11 - (x11 >>> 11); z12 <= z11 + `rot11; end else begin x12 <= x11 - (y11 >>> 11); y12 <= y11 + (x11 >>> 11); z12 <= z11 - `rot11; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x13 <= 1'b0; y13 <= 1'b0; z13 <= 1'b0; end else if(z12[31]) begin x13 <= x12 + (y12 >>> 12); y13 <= y12 - (x12 >>> 12); z13 <= z12 + `rot12; end else begin x13 <= x12 - (y12 >>> 12); y13 <= y12 + (x12 >>> 12); z13 <= z12 - `rot12; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x14 <= 1'b0; y14 <= 1'b0; z14 <= 1'b0; end else if(z13[31]) begin x14 <= x13 + (y13 >>> 13); y14 <= y13 - (x13 >>> 13); z14 <= z13 + `rot13; end else begin x14 <= x13 - (y13 >>> 13); y14 <= y13 + (x13 >>> 13); z14 <= z13 - `rot13; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x15 <= 1'b0; y15 <= 1'b0; z15 <= 1'b0; end else if(z14[31]) begin x15 <= x14 + (y14 >>> 14); y15 <= y14 - (x14 >>> 14); z15 <= z14 + `rot14; end else begin x15 <= x14 - (y14 >>> 14); y15 <= y14 + (x14 >>> 14); z15 <= z14 - `rot14; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin x16 <= 1'b0; y16 <= 1'b0; z16 <= 1'b0; end else if(z15[31]) begin x16 <= x15 + (y15 >>> 15); y16 <= y15 - (x15 >>> 15); z16 <= z15 + `rot15; end else begin x16 <= x15 - (y15 >>> 15); y16 <= y15 + (x15 >>> 15); z16 <= z15 - `rot15; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin Quadrant[0] <= 1'b0; Quadrant[1] <= 1'b0; Quadrant[2] <= 1'b0; Quadrant[3] <= 1'b0; Quadrant[4] <= 1'b0; Quadrant[5] <= 1'b0; Quadrant[6] <= 1'b0; Quadrant[7] <= 1'b0; Quadrant[8] <= 1'b0; Quadrant[9] <= 1'b0; Quadrant[10] <= 1'b0; Quadrant[11] <= 1'b0; Quadrant[12] <= 1'b0; Quadrant[13] <= 1'b0; Quadrant[14] <= 1'b0; Quadrant[15] <= 1'b0; Quadrant[16] <= 1'b0; end else begin Quadrant[0] <= Phase[17:16]; Quadrant[1] <= Quadrant[0]; Quadrant[2] <= Quadrant[1]; Quadrant[3] <= Quadrant[2]; Quadrant[4] <= Quadrant[3]; Quadrant[5] <= Quadrant[4]; Quadrant[6] <= Quadrant[5]; Quadrant[7] <= Quadrant[6]; Quadrant[8] <= Quadrant[7]; Quadrant[9] <= Quadrant[8]; Quadrant[10] <= Quadrant[9]; Quadrant[11] <= Quadrant[10]; Quadrant[12] <= Quadrant[11]; Quadrant[13] <= Quadrant[12]; Quadrant[14] <= Quadrant[13]; Quadrant[15] <= Quadrant[14]; Quadrant[16] <= Quadrant[15]; end end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) begin Cos <= 1'b0; Sin <= 1'b0; Error <= 1'b0; end else begin Error <= z16; case(Quadrant[16]) 2'b00: //if the Phase is in first Quadrant,the Sin(X)=Sin(A),Cos(X)=Cos(A) begin Cos <= x16; Sin <= y16; end 2'b01: //if the Phase is in second Quadrant,the Sin(X)=Sin(A+90)=CosA,Cos(X)=Cos(A+90)=-SinA begin Cos <= ~(y16) + 1'b1;//-Sin Sin <= x16;//Cos end 2'b10: //if the Phase is in third Quadrant,the Sin(X)=Sin(A+180)=-SinA,Cos(X)=Cos(A+180)=-CosA begin Cos <= ~(x16) + 1'b1;//-Cos Sin <= ~(y16) + 1'b1;//-Sin end 2'b11: //if the Phase is in forth Quadrant,the Sin(X)=Sin(A+270)=-CosA,Cos(X)=Cos(A+270)=SinA begin Cos <= y16;//Sin Sin <= ~(x16) + 1'b1;//-Cos end endcase end end endmodule
以下是testbench文件代码
`timescale 1 ps/ 1 ps module Cordic_Test_tb; // Inputs reg CLK_50M; reg RST_N; reg [15:0] cnt; reg [15:0] cnt_n; reg [31:0] Phase; reg [31:0] Phase_n; wire [31:0] Sin; wire [31:0] Cos; wire [31:0] Error; // Instantiate the Unit Under Test (UUT) Cordic_Test uut ( .CLK_50M (CLK_50M ), .RST_N (RST_N ), .Phase (Phase ), .Sin (Sin ), .Cos (Cos ), .Error (Error ) ); initial begin #0 CLK_50M = 1'b0; #10000 RST_N = 1'b0; #10000 RST_N = 1'b1; #10000000 $stop; end always #10000 begin CLK_50M = ~CLK_50M; end always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) cnt <= 1'b0; else cnt <= cnt_n; end always @ (*) begin if(cnt == 16'd359) cnt_n = 1'b0; else cnt_n = cnt + 1'b1; end //生成相位0-359度,Phase[17:16]为相位的象限,Phase[15:10]为相位的值 always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N) begin if(!RST_N) Phase <= 1'b0; else Phase <= Phase_n; end always @ (*) begin if(cnt <= 16'd90) Phase_n = cnt; else if(cnt > 16'd90 && cnt <= 16'd180) Phase_n = {2'd01,cnt - 16'd90}; else if(cnt > 16'd180 && cnt <= 16'd270) Phase_n = {2'd10,cnt - 16'd180}; else if(cnt > 16'd270) Phase_n = {2'd11,cnt - 16'd270}; end endmodule
最后来一张效果图,可以发现,我们的16级流水线已经正常的运行起来了,由于我们仿真输入的相位值为0-359度循环,因此sin和cos也循环了~~~
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