不同情况的二分查找详解

引言

二分搜索法，是通过不断缩小解可能存在的范围，从而求得问题最优解的方法。在ACM竞赛中，解题通常要与其他算法，如贪心相结合提高程序效率。

二分对于中位数有两种取法：

上位中位数mid=lenth/2

下位中位数mid=(lenth+1)/2-1 或 mid=(lenth-2)/2

下文将详细分析。

STL中的预定函数

1. lower_bound

lower_bound()是STL中的一个函数，实际就是一个二分查找。

在一个单调非递减数列区间内，A0，A1……An-1，返回一个满足Ai≥key的最小的i。不存在的情况下输出n。

2. upper_bound

在一个单调非递减数列区间内，A0，A1……An-1，返回一个满足Ai>key的最小的i。不存在的情况下输出n。

序列为整数时，构造多种情况的二分

1. 求最小的i，使得a[i] = key，若不存在，则返回-1

对于特定序列A={1,2,3,3,3,5,7}，n=7，key=3，结果为i=2。 (索引i从0起)

int binary_search(int a[],int n,int key)
{
int mid,l=0,r=n-1;//闭区间[0, n - 1]
while(l<r){
mid=l+((r-l)>>1);//向下取整
if(a[mid]<key) l=mid+1;
else r=mid;
}
if(a[r]==key) return r;
return -1;
}

2. 求最大的i，使得a[i] = key，若不存在，则返回-1

对于特定序列A={1,2,3,3,3,5,7}，n=7，key=3，结果为i=4。 (索引i从0起)

int binary_search(int a[],int n,int key)
{
int mid,l=0,r=n-1;//闭区间[0, n - 1]
while(l<r){
mid=l+((r+l-1)>>1);//向上取整
if(a[mid]<=key) l=mid;
else r=mid-1;
}
if(a[l]==key) return l;
return -1;
}

3. 求最小的i，使得a[i] > key，若不存在，则返回-1

对于特定序列A={1,2,3,3,3,5,7}，n=7，key=3，结果为i=5。(索引i从0起)

int binary_search(int a[],int n,int key)
{
int mid,l=0,r=n-1;//闭区间[0, n - 1]
while(l<r){
mid=l+((r-l)>>1);//向下取整
if(a[mid]<=key) l=mid+1;
else r=mid;
}
if(a[r]>key) return r;
return -1;
}

4. 求最大的i，使得a[i] < key，若不存在，则返回-1

对于特定序列A={1,2,3,3,3,5,7}，n=7，key=3，结果为i=1。 (索引i从0起)

int binary_search(int a[],int n,int key)
{
int mid,l=0,r=n-1;//闭区间[0, n - 1]
while(l<r){
mid=l+((r+1-l)>>1);//向上取整
if (a[mid]<key) l=mid;
else r=mid-1;
}
if(a[l]<key) return l;
return -1;
}

序列为浮点数时的二分

对于精度判断一定要考虑eps。

参考文献