【高等数学】导数存在是否蕴含导数连续？

问题描述：

首先这问题的结论显然是错误的。

举个例子，


 

常见的错误推导：

前提设定一下：

1.洛必达法则

2.拉格朗日中值定理

右→左：如果右边的存在，x能以任意的方式趋近于x0，那么当然对于ξ的序列，ξ的序列的极限也是x0，根据海涅定理二者相等。（导数极限定理）

左→右：如果左边的存在，左边只是一种特殊的情况，只是保证了拉格朗日对应的ξ可以趋近于x0，不能保证其他邻域点也能成立。

 

所以，综上所述，导数存在不能蕴含导数连续。

那么，问题来了，什么条件可以蕴含导数连续呢？