递归与动态规划---N皇后问题的递归方法和位运算方法

【题目】

　　N皇后问题是指在N×N的棋盘上要摆N个皇后，要求任何两个皇后不同行、不同列，也不在同一条斜线上。给定一个整数N，返回N个皇后的摆法有多少种。

【基本思路】

1.递归方法。如果在位置（i，j）放置了一个皇后，那么那些位置就不能在放置皇后了呢？

整个 i 行都不能放置

整个 j 行都不能放置

如果位置（a，b）满足 |a - i| = |b - j|，说明（a，b）与（i，j）处在同一条斜线上，也不能放置皇后。

把递归过程设计成逐行放置皇后的方式，可以避开条件 1 的那些不能放置的位置。接下来用一个数组保存已经放置的皇后的位置，假设数组为record，record[i] == k，表示第 i 行的皇后放置在了第 k 列。在递归计算到第 i 行，都要判断该行的每一个位置是否可以放置皇后。

下面是使用python3.5实现的代码。

#N皇后问题
#递归方法。
def queens(n):
def isValid(record, i, j):
for k in range(i):
if record[k] == j or abs(record[k] - j) == abs(i - k):
return False
return True

def process(index, record):       #对棋牌的第index行进行判断
if index == len(record):
return 1
res = 0
for j in range(len(record)):      #对棋牌的每一列进行判断
if isValid(record, index, j):
record[index] = j
res += process(index+1, record)
return res

if n < 1:
return 0
record = [0 for i in range(n)]
return process(0, record)

　接下来介绍位运算的方法。其实位运算的方法的思路也是递归，只不过是使用了位运算进行了加速，将每一个位置能否放置皇后用 0 和 1 来表示。代码如下：

其中upperLim表示的是棋盘的每一列都有皇后放置的情况，也就是N皇后摆放成功的结果。初始值将每一列都设为 1，用作递归终止的条件判断。

colLim表示递归到上一行为止，哪些列已经放置了皇后，放置的用 1 表示，否则用 0 表示。

leftDiaLim表示递归到上一行为止，受已经放置的皇后的左下方斜线的影响而不能放置的位置， 1 表示不能放置，0 表示可以放置。

rightDiaLim表示递归到上一行为止，受已经放置的皇后的右下方斜线的影响而不能放置的位置， 1 表示不能放置，0 表示可以放置。

pos表示当前行在colLim，leftDiaLim，rightDiaLim限制下能放置的位置，1表示可以放置，0表示不可以放置。

mostRightOne表示pos的最右边的 1 的位置。从右到左遍历每一个可以放置皇后的位置。

#使用位运算进行加速的递归方法。
def queens2(n):
def process2(upperLim, colLim, leftDiaLim, rightDiaLim):
if colLim == upperLim:
return 1
res = 0
pos = upperLim & ~(colLim | leftDiaLim | rightDiaLim)
while pos != 0:
mostRightOne = pos & (~pos + 1)
pos = pos - mostRightOne
res += process2(upperLim, colLim | mostRightOne, (leftDiaLim | mostRightOne) << 1, (rightDiaLim | mostRightOne) >> 1)
return res

if n < 1 or n > 32:          #位运算的载体是int型变量，只能求解1~32皇后问题
return 0
upperLim = -1 if n == 32 else (1<<n) - 1
return process2(upperLim, 0, 0, 0)