dp之01背包（从二维到一维）+完全背包

☝这是最原始的01背包问题http://101.200.220.237/problem/153/

下面写一下我的想法。

巨巨是这样说的：

能用动规解决的问题的特点

1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质。

2)无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。

解释一下状态转移方程f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);

就是第i个物体放入容量为j的背包时所能获得的最大价值，划分了子问题，就是本来背包是m那么大，然后分割成1,2,3…m，那么大，符合第一条，无后效性在自己打表的时候体会比较深刻一些。

继续说状态转移方程，这样的话对于f[i][j]，就只存在放或者不放第i个物体这两种选择，前提是能放进去。如果不放，那自然就是直接取f[i-1][j]的值；如果放，这就牵扯到一个“腾地方”的问题，就是你想放进去一个多大的东西，那么就需要给它腾出多大的地方，然后比如腾完了地方如果还有位置还是可以放别的东西的，而这个数据在上一层已经记录，所以就有了f[i-1][j-weight[i]]+value[i]。

样例中的数据打表得出的结果是：



自己把这个表写一遍很重要，写完差不多就懂了。

基本上算是最基本的dp代码了吧。

#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include<string>
#include<string.h>

int main()
{
int n, m;
while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
{
int f[110][1100];//表格记录数值
memset(f, 0, sizeof(f));
int weight[110];
int value[110];
int i, j;
for (i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &weight[i], &value[i]);
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= m; j++)
{
if (weight[i] <= j)
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
//状态转移方程
else

4000
f[i][j] = f[i - 1][j];
}
printf("%d\n", f
[m]);
}
return 0;
}

今天还学习了一个把二维表简化成一维表的。

据说这个对后续的“背包九讲”的学习有很大的帮助。

开始我以为只是简单地将二维缩成一维，但是当然就不是！

#include<iostream>
using namespace std;
#include<string.h>
#include<algorithm>

int main()
{
int t;
cin >> t;
while (t--)
{
int weight[1010];
int value[1010];
int f[10010];
memset(f, 0, sizeof(f));
int n, w;
cin >> n >> w;
int i,j;
for (i = 1; i <= n; i++)
cin >> value[i];
for (i = 1; i <= n; i++)
cin >> weight[i];
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = w; j >=0; j--)//为什么能变成一维
if (weight[i]<=j)
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);

cout << f[w] << endl;
}
return 0;
}

跑出来的结果是这样的。（每一个i循环中都把f数组从1到w输出一下）



这个是按照j正序跑出来的结果。



这是为什么呢？就按程序中的跑，正序的时候的一个输出的f数组，那么f[10]=max(f[10],f[5]+value[5])，也就是说这个第一个东西被放进去了两次！如果是从w…0，就不会出现这种情况，这个真的好机智，然后就可以直接算完全背包了！

hdu4508,可是说是完全背包的裸题了

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4508

#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include<string.h>

int happiness[110];
int cla[110];
int dp[100006];

int main()
{
int n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
int i;
for (i = 0; i < n; i++)
scanf("%d%d", &happiness[i], &cla[i]);
int m;
scanf("%d", &m);
int j;
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = cla[i]; j <= m; j++)//仔细感受一下这个循环，可以说是非常机智了
dp[j] = max(dp[j], dp[j - cla[i]] + happiness[i]);

printf("%d\n", dp[m]);
}
return 0;
}