hdu 6097 Mindis（圆上一点到圆内(距圆心相等的)两点的距离和最短）

Mindis

题目链接：Mindis

题意：圆内或者圆周上有两个点p和q
4000
，圆心为o，并且op=oq，让你在圆上找一点d，使得dp+dq最小

官方题解：



为什么是中垂线上的点取得最小值？

个人理解应该是类似于这种情况吧，不过任谁做这道题时首先想到的应该都是中垂线吧。。



还有就是极端情况，做出反演点（什么是反演点）

如果直线p′q′与圆有交点，则答案为两点间距离

否则答案就在中垂线上取到

看着题解写代码很简单，问题就是这些结论怎么证的（蒻蒻记住结论，求路过的大佬解惑）。。。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double eps=1e-8;

struct point//点
{
double x,y;
point() {}
point(double X,double Y)
{
x=X,y=Y;
}
};

double xmult(point p1,point p2,point p0)//叉积
{
return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}

double dis(point p1,point p2)//两点间距离
{
return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));
}

double disptoline(point p,point l1,point l2)//点到直线的距离
{
return fabs(xmult(p,l1,l2))/dis(l1,l2);
}

int intersect_line_circle(point c,double r,point l1,point l2)//判定直线是否与圆相交
{
return disptoline(c,l1,l2)<r+eps;
}

int main()
{
int T_T;
double r,ans;
point p,q,o(0,0);
scanf("%d",&T_T);
while(T_T--)
{
scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&r,&p.x,&p.y,&q.x,&q.y);
double op=dis(p,o);
if(p.x==q.x&&p.y==q.y)//特判两点在同一位置
ans=2.0*(r-op);
else
{
point p1(r*r/op/op*p.x,r*r/op/op*p.y),q1(r*r/op/op*q.x,r*r/op/op*q.y);//p'和q'
if(intersect_line_circle(o,r,p1,q1))//判定直线是否与圆相交
ans=dis(p1,q1)*op/r;
else
{
point mid((q1.x+p1.x)/2,(q1.y+p1.y)/2);//两个反演点的中点
double k=r/dis(mid,o);//比例
point d(k*mid.x,k*mid.y);//得到中垂线上的点
ans=2*dis(d,q);//两点到中垂线的距离相等所以×2
}
}
printf("%.7lf\n",ans);
}
return 0;
}

ps：解释一下代码中的ans=dis(p1,q1)*op/r

反演点有一个定理:

dpdp′=opop′−−√ （d为圆上任意一点）

又op∗op′=r2

则dp=dp′∗op2r2−−−√=dp′∗opr

同理可得dq=dq′∗op2r2−−−√=dq′∗oqr

又op=oq，因此ans=dis(p1,q1)*op/r