线性求区间欧拉函数(顺便线性求区间内所有素数)(类似欧拉线性素数筛)
2017-08-11 20:49
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该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。
需要用到如下性质(p为质数):
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p,故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i) 证明如下
(上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)
上面的过程证明了从区间[1,i]->[i+1,i+i],若整数n不与i互质,n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明:若整数n与i互质,n+i与i依然互质
3.若i mod p ≠0, 那么phi(i
* p)=phi(i) * (p-1)
i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i
* p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质
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print?
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 40000
using namespace std;
int n;
int phi[N+10],prime[N+10],tot,ans;
bool mark[N+10];
void getphi()
{
int i,j;
phi[1]=1;
for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程
{
if(!mark[i])
{
prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。
phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1
}
for(j=1;j<=tot;j++)
{
if(i*prime[j]>N) break;
mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数
if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]],利用了欧拉函数的积性
}
}
}
int main()
{
getphi();
}
PS:我的代码如下:
需要用到如下性质(p为质数):
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p,故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i) 证明如下
(上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)
上面的过程证明了从区间[1,i]->[i+1,i+i],若整数n不与i互质,n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明:若整数n与i互质,n+i与i依然互质
3.若i mod p ≠0, 那么phi(i
* p)=phi(i) * (p-1)
i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i
* p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 40000
using namespace std;
int n;
int phi[N+10],prime[N+10],tot,ans;
bool mark[N+10];
void getphi()
{
int i,j;
phi[1]=1;
for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程
{
if(!mark[i])
{
prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。
phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1
}
for(j=1;j<=tot;j++)
{
if(i*prime[j]>N) break;
mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数
if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]],利用了欧拉函数的积性
}
}
}
int main()
{
getphi();
}
PS:我的代码如下:
void get_phi_and_primes(int n){ for(int i = 1;i <= n;i++) phi[i] = 0; phi[1] = 1; for(int i = 2;i <= n;i++){ if(!phi[i]) { primes[++pcnt] = i;phi[i] = i - 1; } for(int j = 1;j <= pcnt && primes[j] * i <= n;j++){ int t = primes[j]; if(i % primes[j] == 0){ phi[i * t] = phi[i] * t; break; } else phi[i * t] = phi[i] * (t - 1); } } }
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