HDU 2814 斐波那契循环节+欧拉函数降幂

https://vj.xtuacm.cf/contest/view.action?cid=115#status//-/0/

求F(a^b)^(F(a^b)^(n-1))%c

a,b,n是longlong范围内的正整数

c是一个小于300的余数

思路：

不难发现c小于300是有意而为的

这里有两个定理：

1.在模c的状态下，斐波那契具有循环节性质，即F[a^b]=F[a^b%len] len即循环节

2.我们可以通过欧拉函数来进行降幂，即a^b%c=a^(b%φ(c)+φ(c))%c

F(a^b)^(F(a^b)^(n-1))%c

= F(a^b)^(F(a^b)^(n-1)%φ(c)+φ(c))%c

=F(a^b%loop1)^(F(a^b%loop2)^(n-1)%φ(c)+φ(c))%c

–》先将斐波那契循环节找到（loop1表示模c状态下的循环节，loop2表示模φ(c)状态下的循环节）

这样就可以直接用快速幂求了

分析：原式等价于求



有一点没明白的就是大多数题解的方案都是特判c=1与φ(c)=1的情况

，发现特美特判其实都一样c=1的时候就是0

φ(c)=1的时候c=1或c=2，可以直接输出a

/*
设t=a^b;G(1)=F[t];
根据递推公式G(n)=G(n-1)^F[t];可知：G(2)=F[t]^F[t];G(3)=(F[t]^F[t])^F[t]=F[t]^(F[t]*F[t]);
这样我们能看出G(n)=F[t]^(F[t]^(n-1));
首先我们在这里要先解决F[t]的值，由于a，b的值都比较大，所以求a^b是不现实的（java你可以试试）
但是我们取余的C是比较小的，所以可以使用循环节来求出F[t]%C的值，设A=F[t]%C;
接下来求A^(F[t]^(n-1))%C的值，这里还是由于F[t]的值是没有办法求的，所以需要用到取余来简化计算，
那么我们会想到费马小定理，欧拉公式，但是这里没说C是素数，所以要用到万能公式来求解，
即首先要求出φ(C),然后再求出循环节，得到F[t]%φ(C)的值，这样我们就能求解了。
注意C=1和欧拉函数值为1的情况。
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll unsigned long long
ll f[5500];
using namespace std;
int sch(int c)
{
int loop;
f[0]=0,f[1]=1;
for(int i=2; i<2005; i++)
{
f[i]=(f[i-1]%c+f[i-2]%c)%c;
if(f[i-1]==0&&f[i]==1)
{
loop=i;
break;
}
}
return loop-1;
}
int phi(int n)
{
int rea=n;
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n%i==0)
{
rea=rea-rea/i;
while(n%i==0)
n=n/i;
}
}
if(n>1)
rea=rea-rea/n;
return rea;
}
ll multi(ll a,ll b,ll mod)
{
ll ans=0;
while(b)
{
if(b&1)
ans=(ans+a)%mod;
b>>=1;
a=(a+a)%mod;
}
return ans;
}
ll quick_pow(ll m,ll n,ll mod)
{
ll ans=1;
m=m%mod;
while(n)
{
if(n&1)ans=multi(ans,m,mod);
n>>=1;
m=multi(m,m,mod);
}
return ans;
}
int main()
{
int t,c;
ll a,b,n;
scanf("%d",&t);
int tt=1;
while(t--)
{
scanf("%I64u %I64u %I64u %d",&a,&b,&n,&c);
if(c==1)
{
printf("Case %d: 0\n",tt++);
continue;
}
int p=phi(c);
int loop1=sch(c);
ll t1=quick_pow(a,b,loop1);
ll tmp1=f[t1]%c;
int loop2=sch(p);
ll t2=quick_pow(a,b,loop2);
ll tmp2=f[t2]%p;
tmp2=quick_pow(tmp2,n-1,p);
tmp2+=p;
tmp1=quick_pow(tmp1,tmp2,c);
printf("Case %d: %I64u\n",tt++,tmp1);
}
return 0;
}