快速沃尔什变换（FWT）讲解 解决集合卷积的方法

能看到这篇博客的人，一定知道FWT是干什么的。（什么？你不知道？）

没事，这里有picks讲FWT的一篇博客。先点进去看一看。

如果你看懂了，那么恭喜你。如果你跟我一样看不懂，那么请继续往下看。

这里的A和B都是什么呢？其实它们是一个多维的向量（如果你不知道向量是什么，就把它当成数组），下标从0开始。

其中，

A=<a0,a1,...,a2k−1>

B=<b0,b1,...,b2k−1>

C=A@B

这里我们定义

A±B=<a0±b0,a1±b1,...,a2k−1±b2k−1>即对应位相加（减）

A∗B=<a0∗b0,a1∗b1,...,a2k−1∗b2k−1>即对应位相乘

A@B（实在找不到靠谱的符号了。。）为A和B做卷积之后得到的结果，也是一个和原来大小一样的向量。

注意到FWT做的是二进制上的位运算，所以一定要把A和B补到2的整次幂次（即不足的地方填上0）。

我们要构造一个变换tf，使得tf(A)∗tf(B)=tf(C)。这个变换的对象是一个大小为2k的向量，变换出来的结果也是一个大小为2k的向量。

就以异或举例。picks告诉我们

tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1))

其中A0=<a0,a1,...,a2k−1−1>,A1=<a2k−1,a2k−1+1,...,a2k−1>

即把A中的下标按照二进制最高位为0或1分成前后两部分（前面的为A0,后面的为A1），分治下去做。

分治之后得到tf(A0)和tf(A1)。然后tf(A)的前半部分(即[0,2k−1−1])为tf(A0)+tf(A1)，后半部分（即[2k−1,2k−1]）为tf(A0)−tf(A1)。（其实就是已知两个向量，把两个向量做加减运算，加的那个结果填到前一半中，减的那个结果填到后一半中）。

然而，这为什么是对的？

接下来我们来证明它是对的。

我要事先说明（注意不是证明）一个引理:tf(A+B)=tf(A)+tf(B)。这个东西看上去挺直观的（一点都不直观好吗。。）。这个东西可以用数学归纳法证。这里略过。。。（有时间的时候再补上）

我们看k=1的时候。

根据定义，有

tf(A)=<a0+a1,a0−a1>

tf(B)=<b0+b1,b0−b1>

tf(C)=<c0+c1,c0−c1>

c0=a0∗b0+a1∗b1,c1=a0∗b1+a1∗b0

自己代代看，反正代出来很神奇的的发现tf(A)∗tf(B)=tf(C)

接下来使用数学归纳法。假设对于大小都为2k(k∈N∗)的向量A和B，满足C=A@B，并且tf(A)∗tf(B)=tf(C)。

考虑当大小为2k+1的情况。我们要证明在这种情况下，tf(A)∗tf(B)=tf(C)。

根据定义，有

tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1))

tf(B)=(tf(B0)+tf(B1),tf(B0)−tf(B1))

tf(A)∗tf(B)=([tf(A0)+tf(A1)]∗[tf(B0)+tf(B1)],[tf(A0)−tf(A1)]∗[tf(B0)−tf(B1)])

暴力把式子拆开，有

tf(A)∗tf(B)=

(tf(A0)∗tf(B0)+tf(A0)∗tf(B1)+tf(A1)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1),

tf(A0)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1)−tf(A0)∗tf(B1)−tf(A1)∗tf(B0))

注意到这里的A0,A1,B0,B1都是大小为2k的向量，符合归纳的基础。于是，

tf(A)∗tf(B)=

(tf(A0@B0)+tf(A0@B1)+tf(A1@B0)+tf(A1@B1),

tf(A0@B0)+tf(A1@B1)−tf(A0@B1)−tf(A1@B0))

由于异或每一位是独立，而这里如果我们把C按照最高位为0或1分成两部分，最高位的异或和其它位不相关。

于是有

C=(C0,C1)=(A0@B0+A1@B1,A0@B1+A1@B0)

要证的等式右边=tf(C)=tf(C0,C1)

=tf(A0@B0+A1@B1,A0@B1+A1@B0)

=(tf(A0@B0+A1@B1)+tf(A0@B1+A1@B0),

tf(A0@B0+A1@B1)−tf(A0@B1+A1@B0))

=(tf(A0@B0)+tf(A1@B1)+tf(A0@B1)+tf(A1@B0),

tf(A0@B0)+tf(A1@B1)−tf(A0@B1)−tf(A1@B0))=tf(A)∗tf(B)=左边

（抱歉我不会排版。式子长得比较丑没关系，看得懂就好）

至此，证毕。

然而这只是一个tf，还有一个逆变换utf。这个逆变换的正确性可以用同样的方法证明，即先看k=1的情况，然后一步一步用数归推上去。

证明方法比较简单（真的很简单），这里略过。

至于其它位运算，其证明方法与异或一致，这里不赘述。

说了这么多，其实这个证明并没有什么卵用（只是使得自己相信它是对的）。。大家还是背代码吧。。。

模板：

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void FWT(int a[],int n)

{

for(int d=1;d<n;d<<=1)

for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)

for(int j=0;j<d;j++)

{

int x=a[i+j],y=a[i+j+d];

a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;

//xor:a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;

//and:a[i+j]=x+y;

//or:a[i+j+d]=x+y;

}

}

void UFWT(int a[],int n)

{

for(int d=1;d<n;d<<=1)

for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)

for(int j=0;j<d;j++)

{

int x=a[i+j],y=a[i+j+d];

a[i+j]=1LL*(x+y)*rev%mod,a[i+j+d]=(1LL*(x-y)*rev%mod+mod)%mod;

//xor:a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;

//and:a[i+j]=x-y;

//or:a[i+j+d]=y-x;

}

}

void solve(int a[],int b[],int n)

{

FWT(a,n);

FWT(b,n);

for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;

UFWT(a,n);

}