组合数学-离散数学重点摘记

1、简介

组合数学（Combinatorial mathematics），又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。
组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合化等。

 
                                          离散数学重点概念与公式总结

命题：称能判断真假的陈述句为命题。

命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。

命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。

真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。

命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。

（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。

（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。

主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。

主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。

命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。

约束变元和自由变元：在合式公式"x A和
$x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。

一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。

前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。

集合的基本运算：并、 交、差、相对补和对称差运算。

笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。

二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。

特殊关系：（1）、空关系：Φ （2）全域关系：EA={<x,
y> | x∈A ∧ y∈A }= A×A

（3）恒等关系：IA={<x, x> | x∈A}

（4）小于等于关系：LA={<x, y>| x, y∈A∧x≤y∈A },A Í R

（5）整除关系： RÍ ={<x, y>| x，y∈ψ ∧ x Í y} ,ψ是集合族

二元关系的运算：设R是二元关系，

（1）R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域domR =
{ x |$y（<x , y>∈R）}

（2）R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR =
{y |$x（<x , y>∈R）}

（3）R的定义域和值域的并集称为R的域fldR=
domR ∪ranR

二元关系的性质：自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性。

等价关系：如果集合A上的二元关系R是自反的，对称的和传递的，那么称R是等价关系。设R是A上的等价关系，x
, y是A的任意元素，记作x～y。

等价类：设R是A上的等价关系，对任意的"x∈A，令[x]R={ y | y∈A ∧ x
R y }，称[x]R为x关于R的等价类。

偏序关系：设R是集合A上的二元关系，如果R是自反的，反对称的和传递的，那么称R为A上的偏序，记作≤；称序偶< A
,R >为偏序集合。

函数的性质：设f: A®B，

（1）若ranf = B，则称f 是满射（到上）的。

（2）若 "yÎ ranf 都存在唯一的x ÎA 使得f(x)=y,则称f 是单射（—
—）的。

（3）若f 既是满射又是单射的，则称f 是双射（—
—到上）的。

无向图：是一个有序的二元组<V, E>，记作G，其中：

(1) V¹Ф称为顶点集，其元素称为顶点或结点。

(2) E为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边。

有向图：是一个有序的二元组<V,E>,记作D,其中

(1) V同无向图。 (2) E为边集，它是笛卡尔积V´V的多重子集，其元素称为有向边。

设G=<V,E>是一个无向图或有向图。

有限图：若V, E是有限集，则称G为有限图。

n阶图：若| V |=n，称G为n阶图。

零图：若| E |=0，称G为零图,当| V |=1时，称G为平凡图。

基图：将有向图变为无向图得到的新图，称为有向图的基图。

图的同构：在用图形表示图时，由于顶点的位置不同，边的形状不同，同一个事物之间的关系可以用不同的图表示，这样的图称为图同构。

带权图：在处理有关图的实际问题时，往往有值的存在，一般这个值成为权值，带权值的图称为带权图或赋权图。

连通图：若无向图是平凡图，或图中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。否则称为非连通图。设D是一个有向图，如果D的基图是连通图，则称D是弱连通图，若D中任意两个顶点至少一个可达另一个，则称D是单向连通图。若D中任意两个顶点是相互可达的，则称D是强连通图。

欧拉图：通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路（回路），称为欧拉通路（回路）。存在欧拉回路的图称为欧拉图。

哈密顿图：经过图中每个顶点一次且仅一次的通路（回路），称为哈密顿通路（回路），存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。

平面图：一个图G如果能以这样的方式画在平面上：出定点处外没有变交叉出现，则称G为平面图。画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。

二部图：若无向图G=〈V, E〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V 2（V1∩V2
=f ），使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2，则称G为二部图（偶图）。二部图可记为G =
< V1, V 2
, E >, V1和V 2称为互补顶点子集。

树的定义：连通无回路的无向图称为无向树，简称树，常用T表示树。平凡图称为平凡树。若无向图G至少有两个连通分支，每个连通都是树，则称G为森林。在无向图中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于2的顶点称为分支点。

树的性质：性质1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：

（1）G是树 （2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径 （3）G中无回路且m=n-1.

（4）G是连通的且m=n-1. （5）G是连通的且G中任何边均为桥。 （6）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。

性质2、设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。

证：设T有x片树叶，由握手定理及性质1可知，2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2.

最小生成树：设T是无向图G的子图并且为树，则称T为G的树。若T是G的树且为生成子图，则称T是G的生成树。设T是G的生成树。e∈E(G)，若e∈E(T)，则称e为T的树枝，否则称e为T的弦。并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树，记作T。

最优二元树：设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt，权分别为w1,w2,…,wt，称W(t)=wil(vi)为T的权，其中l(vi)是vi的层数。在所有有t片树叶，带权w1,w2,…,wt的2叉树中，权最小的2叉树称为最优2叉树。

最佳前缀码：利用Huffman算法求最优2叉树，由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码，用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。

蕴含式推理

E1	┐┐p<=>P	E12	R∨(P∧┐P)<=>R
E2	P∧Q<=>Q∧P	E13	R ∧(P∨┐P)<=>R
E3	P∨Q<=>Q∨P	E14	R∨(P∨┐P)<=>T
E4	(P∧Q)∧R<=>P∧(Q∧R)	E15	R∧(P∧┐P)<=>F
E5	(P∨Q)∨R<=>P∨(Q∨R)	E16	P→Q<=>┐P∨Q
E6	P∧(Q∨R)<=>(P∧Q)∨(P∧R)	E17	┐(P→Q)<=> P∧┐Q
E7	P∨(Q∧R)<=>(P∨Q)∧(P∨R)	E18	P→Q<=>┐Q→┐P
E8	┐(P∧Q)<=> ┐P∨┐Q	E19	P→(Q→R)<=>(P∧Q)→R
E9	┐(P∨Q)<=> ┐P∧┐Q	E20	PDQ<=>(P→Q)∧(Q→P)
E10	P∨P<=>P	E21	PDQ<=>(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)
E11	P∧P<=>P	E22	┐(PDQ) <=> PD┐Q

等值公式表

P∧Q=>P	化简式
P∧Q=>Q	化简式
P=>P∨Q	附加式
┐P=>P→Q	变形附加式
Q=>P→Q	变形附加式
┐(P→Q)=>P	变形简化式
┐(P→Q)=>┐Q	变形简化式
p∧(P→Q)=>Q	假言推论
┐Q∧(P→Q)=>┐P	拒取式
┐p∧(P∨Q)=>Q	析取三段式
(P→Q) ∧(Q→R)=>P→R	条件三段式
(PDQ) ∧(QDR)=>PDR	双条件三段式
(P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)=>Q→S	合取构造二难
(P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)=>Q∨S	析取构造二难
P→Q=>(P∨R) →(Q∨R)	前后附加式
P→Q=>(P∧R) →(Q∧R)	前后附加式
E23	( x)((Ax)∨(Bx))<=>( x)(Ax)∨( x)(Bx)	E30	( x)(Ax) →B<=>( x) ((Ax)→B)
E24	( x)((Ax)∧(Bx))<=>( x)(Ax)∧( x)(Bx)	E31	( x)(Ax) →B<=>( x) ((Ax)→B)
E25	┐( x)(Ax)<=>( x)┐(Ax)	E32	A→( x)(Bx) <=>( x) (A→(Bx))
E26	┐( x)(Ax)<=>( x)┐(Ax)	E33	A→( x)(Bx) <=>( x) (A→(Bx))
E27	( x)(A∨(Bx))<=>A∨( x)(Bx)	I17	( x)(Ax)∨( x)(Bx) =>( x)((Ax)∨(Bx))
E28	( x)(A∧(Bx))<=>A∧( x)(Bx)	I18	( x)((Ax)∧(Bx)) =>( x)(Ax)∧( x)(Bx)
E29	( x)((Ax)→(Bx))<=>( x)(Ax)→( x)(Bx)	I19	( x)(Ax)→( x)(Bx) =>( x)((Ax)→(Bx))

 

 

集合恒等式：

幂等律：A∪A=A ；A∩A=A

结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

交换律：A∪B=B∪A ；A∩B=B∩A

分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

同一律：A∪f =A ；A∩E=A

零  律：A∪E =A ；A∩f = f

排中律：A∪~A=E

矛盾律：A∩~A =f

吸收律：A∩(A∪B)=A；A∪ (A∩B)=A

德摩根定律：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)；A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)

                     ~(B∪C)= ~B∩~C；~(B∩C)= ~B∪~C；~f=E；~E=f

双重否定律：~（~A)=A

二元关系的运算：

设F,G,H是任意的关系，

（1）（F -¹) -¹= F                   （2）dom(F -¹)=ranF ；ran
(F -¹)=domF

（3）（ F ◦ G ) ◦ H =　F ◦(G ◦ H ) （4）（ F ◦ G ) - ¹ =G -¹ ◦ F -¹

设R是A上的关系（幂运算）

（1）Rº = {<x，x>|
x∈A}   （2）R ^n = R ^(n-1)
◦ R，n≥1  （3）R ◦ Rº
= Rº ◦ R = R

图的矩阵表示：

（1）无向图的关联矩阵：设无向图G=<V,E>, V={v1,v2,…,vn}, E={e1,e2,…,em}，令mij为顶点vi与边的关联次数，则称（ mij
）n´ m为G的关联矩阵。记为M(G)。

（2）有向图的关联矩阵：设无向图D=<V,E>, V={v1,v2,…,vn}, E={e1,e2,…,em}，

                                        1,   vi是ej的始点

               mij =                 0,   vi与ej不关联

                                        -1，vi是ej的终点

          则称（ mij ）n´ m为D的关联矩阵。记为M(D)
。