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题目描述

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E = {E[1],E[2],……,E
}，
且E[1] = E[2] = p（p为一个质数），E[i] = E[i-2]*E[i-1] （若2<i<=n）。

例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p = 2的数列。在此基础上他又设计了一种加密算法，该算法可以通过一个密钥q (q < p)将一个正整数n加密成另外一个正整数d，计算公式为：d = E
mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密，但他对程序设计不太感兴趣，请你帮助他设计一个数据加密程序。

输入

第一行读入m，p。其中m表示数据个数，p用来生成数列E。 以下有m行，每行有2个整数n，q。n为待加密数据，q为密钥。 数据范围: 0 < p n< 2^31 0 < q < p 0 < m <= 5000。

输出

将加密后的数据按顺序输出到文件 第i行输出第i个加密后的数据。 输入样例1 2 7 4 5 4 6 输入样例2 4 7 2 4 7 1 6 5 9 3
考试打了一个快速幂，但斐波那契数列增长很快，最后能存到90项，其实和暴力没什么区别
这题用到了欧拉定理，a^b%p=a^(b%phi(p))%p;(phi(p)是p的欧拉函数)GCD(a,p)==1
扩展欧拉定理a^b%p=a^((b%phi(p))%p+phi(p))  %p;(GCD(a,p)>1)
适用范围不一样，这个一定要特别注意
矩阵快速幂求f的第n项，预处理phi（p），p很大的时候单独求，然后快速幂求ans

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 1000005
using namespace std;
int m,p,n,q,mo;
int phi[maxn+4],prime[maxn];
bool vis[maxn+4];
void pre()
{
int k=0;
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(vis[i]==0)
{
phi[i]=i-1;
prime[++k]=i;
}
for(int j=1;j<=k;j++)
{
if(prime[j]*i>maxn) break;
vis[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int getphi(int t)
{
int kk=t;
for(int i=2;i*i<=t;i++)
if(t%i==0)
{
kk=kk-kk/i;
while(t%i==0)
t/=i;
}
if(t>1)
kk=kk-kk/t;
return kk;
}
struct mat
{
long long a[5][5];
}b,c,f;
void init()
{
memset(b.a,0,sizeof(b.a));
memset(c.a,0,sizeof(c.a));
memset(f.a,0,sizeof(f.a));
c.a[1][1]=1;c.a[1][2]=1;c.a[2][1]=1;c.a[2][2]=0;
f.a[1][1]=1;f.a[1][2]=1;
b.a[1][1]=1;b.a[2][2]=1;
}
mat operator *(mat A,mat B)
{
mat z={0};
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int k=1;k<=2;k++)
z.a[i][j]+=(A.a[i][k]%mo*B.a[k][j]%mo)%mo;

return z;
}
int main()
{
pre();
scanf("%d%d",&m,&p);
long long t,ans=1,mod;
while(m--)
{
scanf("%d%d",&n,&q);
init();n=n-1;
if(q<=maxn) mo=phi[q];
else mo=getphi(q);
if(n>=2)
{
while(n)
{
if(n&1) b=b*c;
c=c*c;
n>>=1;
}
f=f*b;
}
t=f.a[1][2]%mo;
mod=p;ans=1;
if(t!=0)
while(t)
{
if(t&1) ans=(ans%q*mod)%q;
mod=mod%q*mod%q;
t>>=1;
}
else ans=1%q;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}