解题报告：HDU_6053 TrickGCD 莫比乌斯反演

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题意：

给一个长度为n的数组A，让你构造等长的数组B，B数组中的元素取值为小于等于A数组中对应位置的元素，现在询问B数组中的gcd大于等于2的方案数

思路：(已更新容斥部分)

我们令g(d)为gcd为d的倍数的答案，那么


所以根据容斥原理最后我们要求的答案为g(2)+g(3)+g(5)-g(6)+g(7)-g(10)+g(11)+g(13)-g(14)+g(15).....

即：


转换一下：


f ( i , d ) 为 [  a / d ] = i 的A数组中的元素个数，用一个前缀和数组维护就好

加上快速幂，那么复杂度就降到了O( n log(n)^2 ) 了

代码：

#include<bits/stdc++.h>

const long long mod = 1e9+7;
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
vector<int>pr;
int mu
;
bool Np
;

inline void init(){
mu[1] = 1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(!Np[i]){
pr.emplace_back(i);
mu[i]=-1;
}
for(int j=0,k=pr[j]*i;k<N;k=pr[++j]*i){
Np[k] = true;
if(i%pr[j]==0){
mu[k] = 0;
break;
}mu[k] = -mu[i];
}
}

}
int n,ed,mi;
int A
;
long long fro
;

long long qpow(long long x,long long y){
if(x<=1)return 1;
long long res = 1;
while(y){
if(y&1)res=res*x%mod;
y>>=1;
x = x * x %mod;
}return res;
}

long long work(){
for(int i=2;i<=ed;i++){
A[i]+=A[i-1];
}long long res = 0;
for(int i=2;i<=mi;i++)if(mu[i]){
long long cnt  = -mu[i];
int m  = ed / i ;
for(int j=1;j<=m;j++){
int l = i * j, r = min( ed , i * j + i - 1 );
cnt = cnt * qpow( j , A[r]-A[l-1] ) % mod;
}res += cnt;
}
return ( res % mod + mod ) % mod;
}

int main()
{
init();
int T,cas=0;
scanf("%d",&T);
while(T--){
ed = 0;mi = 1e5;
memset(A,0,sizeof(A));
scanf("%d",&n);
for(int i=0,x;i<n;i++){
scanf("%d",&x);
ed = max(ed,x);
mi = min(mi,x);
A[x]++;
}printf("Case #%d: %I64d\n",++cas,work());
}return 0;
}