fireworks 2017年山东省ACM省赛C题 SDUT 3895 (逆元求组合数）

题目

fireworks

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Problem Description

Hmz likes to play fireworks, especially when they are put regularly.

Now he puts some fireworks in a line. This time he put a trigger on each firework. With that trigger, each firework will explode and split into two parts per second, which means if a firework is currently in position x,
then in next second one part will be in position x−1 and one in x+1. They can continue spliting
without limits, as Hmz likes.

Now there are n fireworks on the number axis. Hmz wants to know after T seconds, how many fireworks
are there in position w?

Input

Input contains multiple test cases.

For each test case:
The first line contains 3 integers n,T,w(n,T,|w|≤10^5)
In next n lines, each line contains two integers xi and ci,
indicating there are ci fireworks in position xi at the beginning(ci,|xi|≤10^5).

Output

For each test case, you should output the answer MOD 1000000007.

Example Input

1 2 0
2 2
2 2 2
0 3
1 2

Example Output

2
3

题目 大意

    有一种特殊的烟花，他每一秒可以向自己的左右两边分裂相同数量的烟花

    求所给位置在T时间后有多少个烟花

    要求输入n(烟花的数量)，T(烟花的持续时间),w(所求的位置)

    接下来n行每一行输入两个数xi(烟花的初始位置)  ci(该点的烟花数量)

解题思路

  我们假设在0的位置有一个烟花

下面这个图给出了在1，2，3，秒时，各个坐标点产生的烟花的数量（蓝色为烟花数量）



仔细观察我们就可以发现这是一个我们很熟悉的数学定理，杨辉三角

                                 1

                              1    1

                           1    2   1

                         1  3     3  1

                       1 4    6   4  1

                     ……………………

有了这个之后就很好办了，只要能确定C(n,m)其中的n和m就可以了

在这里我们可以看出来n就是题目中给出的T,

要求m需要略作思考，这里我们设一个temp代表所求位置到烟花的绝对值，这里我们以图为例子推演一下，假设所求位置是-1，时间限制是3秒，烟花的初始位置是0，那么两点之间的绝对值temp=1，我们可以发现这里我们要求的m=(T/2)-(temp/2)，或者是m=(T+1/2)-(temp+1/2)，严格来说第二种是准确的，但是因为这道题目，T和temp只有是同奇同偶的情况下才代表该点有烟花（大家可以对着图演示一下就会发现这个规律），因为同奇同偶导致了两个式子结果是一样的。

上面提到了同奇同偶，但是怎么来确定同奇同偶？我这里是设了两个变量tomd(代表T的奇偶性)，temp(所求到烟花的绝对值，这里只需要对temp%2与tmod判等就可以验证是否是同奇同偶)。

这个题用到的主要算法是逆元组合数，用来求组合数的还有lucas，但是而这还有有区别的，逆元求组合数适用于数较小且mod较大时，还要保证mod必须为素数，lucas适用于数较大且mod较小时的组合数

这两个算法这里不展开细讲，要想深入学习，可以看一下其他大牛的讲解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
const LL mod=1000000007;
const LL fcnt=100005;
LL xi;
LL ci;
LL fac[fcnt];
void getfac()
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<fcnt;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
LL quickpow(LL a,LL b)
{
if(b<0)
return 0;
LL ret =1;
a%=mod;
while(b)
{
if(b&1)
ret =(ret*a)%mod;
b>>=1;
a=(a*a)%mod;
}
return ret;
}
LL inv(LL a)
{
return quickpow(a,mod-2);
}
LL C(LL n,LL m)
{
if(n<m)
return 0;
return  fac
*inv(fac[m])%mod*inv(fac[n-m])%mod;
}
int main()
{
LL n;
LL T,p;
getfac();
while(scanf("%lld%lld%lld",&n,&T,&p)!=EOF)
{
LL tmod=T%2;
LL myans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&xi,&ci);
LL temp=abs(xi-p);
if(temp%2==tmod&&temp<=T)
{
myans=(myans+ci*C(T,(T+1)/2-(temp+1)/2))%mod;
}
}
printf("%lld\n",myans);
}
return 0;
}