LIS最长上升子序列(打印路径)
2017-07-22 13:39
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问题描述:给定n个整数A1,A2,…An,按从左到右的顺序选出尽量多的整数,组成一个上升子序列。例如序列162375,可以选出1235也可以选出167,但是前者更长,且要求选出的上升子序列中相邻元素不相等。
下面是时间复杂度O(n2)的代码
下面是O(n*logn)的算法,参考的
http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972874229274/?fromdm&fromSearch&isFromSearchEngine=yes
最长上升子序列的O(n*logn)算法分析如下:
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设a[t]表示序列中的第t个数,dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度,初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, …, len(a))。则有动态规划方程:dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, …, t - 1, 且a[j] < a[t])。
现在,我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y],满足
(1)x < y < t
(2)a[x] < a[y] < a[t]
(3)dp[x] = dp[y]
此时,选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢?
很明显,选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2),在a[x+1] … a[t-1]这一段中,如果存在a[z],a[x] < a[z] < a[y],则与选择a[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k,我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < … < D
。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len],则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = a [t];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < a[t]。令k = j + 1,则有a [t] <= D[k],将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,更新D[k] = a[t]。最后,len即为所要求的最长上 升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!
二分查找法见:http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972823041497/
核心代码:
下面是时间复杂度O(n2)的代码
// ConsoleApplication1.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 105; int d[maxn]; int a[maxn]; int vis[maxn]; int out[maxn] ; void dfs(int pos) { if (pos == -1)return; dfs(vis[pos]); printf(" %d", a[pos]); } int main() { int n = 0; while (cin >> n&&n != 0) { memset(d, 0, sizeof(d)); memset(a, 0, sizeof(a)); memset(vis, -1, sizeof(vis)); // memset(out, 0, sizeof(out)); int i_ = 0; int len = 0, len_i = 0, flag = 0; while (i_ < n) cin >> a[i_++]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < i; j++) { if ((a[i] > a[j]) && (d[i] < d[j] + 1)) { d[i] = d[j] + 1; vis[i] = j; if (len < d[i]) { len = d[i]; len_i = i; } } } } printf("The number is %d:", len+1); dfs(len_i); //这种逆序打印路径的问题,用递归也很好 /*int temp = len; while (temp >= 0) { out[temp] = len_i; len_i = vis[len_i]; temp--; } for (int k = 0; k <= len;k++) printf(" %d", a[out[k]]);*/ printf("\n"); } return 0; }
下面是O(n*logn)的算法,参考的
http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972874229274/?fromdm&fromSearch&isFromSearchEngine=yes
最长上升子序列的O(n*logn)算法分析如下:
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设a[t]表示序列中的第t个数,dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度,初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, …, len(a))。则有动态规划方程:dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, …, t - 1, 且a[j] < a[t])。
现在,我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y],满足
(1)x < y < t
(2)a[x] < a[y] < a[t]
(3)dp[x] = dp[y]
此时,选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢?
很明显,选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2),在a[x+1] … a[t-1]这一段中,如果存在a[z],a[x] < a[z] < a[y],则与选择a[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k,我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < … < D
。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len],则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = a [t];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < a[t]。令k = j + 1,则有a [t] <= D[k],将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,更新D[k] = a[t]。最后,len即为所要求的最长上 升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!
二分查找法见:http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972823041497/
核心代码:
int binsearch(int x) //找到最小的大于等于它的数 { int l = 1, r = len, mid; while (l <= r) { mid = (l + r) >> 1; if (d[mid-1] <= x && x < d[mid]) return mid; else if (x > d[mid]) l = mid + 1; else r = mid - 1; } } int main() { scanf ("%d", &n); for (i = 1; i<= n; i++) scanf ("%d", &a[i]); memset (d, 0, sizeof (d)); d[1] = a[1]; len = 1; for (i = 2; i <= n; i++) { if (a[i] < d[1]) j = 1; else if (a[i] > d[len]) j = ++len; else j = binsearch (a[i]); d[j] = a[i]; } printf ("%d\n", len); return 0; }
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