[FWT] 51nod 算法马拉松26 A. A国的贸易

题意

A国是一个神奇的国家。

这个国家有 2n 个城市，每个城市都有一个独一无二的编号 ，编号范围为0~2n-1。

A国的神奇体现在，他们有着神奇的贸易规则。

当两个城市u，v的编号满足calc（u，v）=1的时候，这两个城市才可以进行贸易（即有一条边相连）。

而calc（u，v）定义为u，v按位异或的结果的二进制表示中数字1的个数。

ex：calc（1,2）=2 ——> 01 xor 10 = 11

calc（100,101）=1 ——> 0110,0100 xor 0110,0101 = 1

calc（233,233）=0 ——> 1110,1001 xor 1110,1001 = 0

每个城市开始时都有不同的货物存储量。

而贸易的规则是：

每过一天，可以交易的城市之间就会交易一次。

在每次交易中，当前城市u中的每个货物都将使所有与当前城市u有贸易关系的城市货物量 +1 。

请问 t 天后，每个城市会有多少货物。

答案可能会很大，所以请对1e9+7取模。

n<=20 t<=10^9

题解

当时还不知道FWT时去做这题，想了快2h……后来才得知是新算法……

其实很简单，相当于二进制取反某一位后的编号都可以运过来，就是异或一个2x。

所以我们构造一个多项式，其中二的次幂项都为1，其他为0。异或下的卷积卷一次就相当于运了一天。

FWT,然后快速幂就好了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL maxn=1500005, MOD=1000000007, Inv=(MOD+1)/2;
inline char gc(){
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int getint(){
char ch=gc(); int res=0;
while(!('0'<=ch&&ch<='9')) ch=gc();
while('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0', ch=gc();
return res;
}
int n,K,a[maxn],b[maxn];
void FWT(int a[],int n,int _k){
for(int m=2;m<=n;m<<=1)
for(int i=0;i<=n-1;i+=m)
for(int j=0;j<=m/2-1;j++){
int t0=a[i+j], t1=a[i+j+m/2];
if(_k==1) a[i+j]=(t0+t1)%MOD, a[i+j+m/2]=(t0+MOD-t1)%MOD;
else a[i+j]=(LL)(t0+t1)*Inv%MOD, a[i+j+m/2]=(LL)(t0-t1+MOD)*Inv%MOD;
}
}
int Pow(int a,int b){
LL res=1;
for(LL w=a%MOD;b;w=w*w%MOD,b>>=1) if(b&1) (res*=w)%=MOD;
return res;
}
void write(int x){
if(x>=10) write(x/10);
putchar('0'+x%10);
}
int main(){
freopen("51nod1773.in","r",stdin);
freopen("51nod1773.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&K); n=1<<n;
for(int i=0;i<=n-1;i++) a[i]=getint();
b[0]=1; for(int i=1;i<=n-1;i<<=1) b[i]=1;
FWT(a,n,1); FWT(b,n,1);
for(int i=0;i<=n-1;i++) a[i]=(LL)a[i]*Pow(b[i],K)%MOD;
FWT(a,n,-1);
for(int i=0;i<=n-1;i++) write(a[i]),putchar(' ');
return 0;
}