支持向量机SVM 原理、推导与Matlab实现（2）-对偶问题

SVM原理

请参见上一个博文

http://blog.csdn.net/taiji1985/article/details/75087742

对偶问题

什么是对偶问题，举一个例子。工厂在资源有限的情况下，追求利润的最大化。这个问题等价于 ， 在某一个利润下，追求资源使用的最小化。 这就是对偶问题。

SVM最优化公式回顾

对于SVM，有这样的最优化公式

min12wTw满足yi(wTxi+b)⩾1

（式 1）

拉格朗日乘子法

原理请见博客 http://blog.csdn.net/taiji1985/article/details/75105442

使用ai 作为拉格朗日乘子，最小化函数可以写作

L(w,b,a)=12wTw+∑iai(1−yi(wTxi+b))

（式 2）

SVM的转换过程

原最优化问题转化为

minw,bmaxaL(w,b,a)

（式 3）

通俗来看，当 1−yi(wTxi+b)⩽0 时，满足SVM要求的 yi(wTxi+b)⩾1 这个条件， 我们又要求ai⩾0 ,这样，它的最大值为0，当违背SVM条件时， ai和 yi(wTxi+b) 都是大于0 的数，它的乘积的最大值为无穷大。

满足KKT条件时：

minw,bmaxaL(w,b,a)=maxaminw,bL(w,b,a)

（式 4）

KKT条件包含

（1） 梯度为0， 即L(w,b,a)关于w，b和a的偏导数都为0 。 我们根据w和b的偏导数，可以得到下面的公式

w=∑iaiyixi

（式 5）

0=∑iaiyi

（式 6）

将式5-6 带入 式4中，消去w和b 可以得到

maxa∑iai−12∑i∑jaiajyiyjxTixj （式 7）

我们不喜欢最大化，转换为最小化

mina12∑i∑jaiajyiyjxTixj−∑iai （式 8）

二次规划标准型

优化u←QP(H,f,A,b,Aeq,Beq,lb,ub,u0)minu12uTHu+fTu,满足aTmu<=bmAeqTu=Bequ>=lbu<=ub （式 9）

将是 式8按照式9格式整理。

令 X=[x1,x2,...,xn]∈Rk×n ,k为xi的维度，n为样本个数。令

y=[y1,y2,...,yn]T∈Rn×1 ,那么

式9中 u=[a1,a2,...,an]T∈Rn×1

H=yTy⊙XTX∈Rn×n

其中 ⊙ 为点乘，即逐项相乘。

一次项 f=1n∈Rn×1 ,

A = [] , b = [] 不添加不等式约束

使用 Aeq = Y , Beq = 0 , 表达 Y * u = 0 的等式约束

lb = 0 ,表达 u>=0 的等式约束

matlab 实现

function test_dual_svm()
%主函数
clear all;
close all;
%test_svm();
%return;
C = 10;
%训练样本
n = 50;
randn('state',6);
x1 = randn(2,n);    %2行N列矩阵
y1 = ones(1,n);       %1*N个1
x2 = 5+randn(2,n);   %2*N矩阵
y2 = -ones(1,n);      %1*N个-1

figure;
plot(x1(1,:),x1(2,:),'bx',x2(1,:),x2(2,:),'k.');
axis([-3 8 -3 8]);
hold on;

X = [x1,x2];        %训练样本d*n矩阵，n为样本个数，d为特征向量个数
Y = [y1,y2];        %训练目标1*n矩阵，n为样本个数，值为+1或-1
svm = svmTrain(X,Y,C);
plot(svm.Xsv(1,:),svm.Xsv(2,:),'ro');

%测试
[x1,x2] = meshgrid(-2:0.05:7,-2:0.05:7);  %x1和x2都是181*181的矩阵
[rows,cols] = size(x1);
nt = rows*cols;
Xt = [reshape(x1,1,nt);reshape(x2,1,nt)];
Yt = ones(1,nt);
result = svmTest(svm, Xt, Yt);

Yd = reshape(result.Y,rows,cols);
contour(x1,x2,Yd,'m');
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function svm = svmTrain(X,Y,C)

options = optimset;    % Options是用来控制算法的选项参数的向量
options.LargeScale = 'off';
options.Display = 'off';

n = length(Y);
H = (Y'*Y).*(X'*X);
f = -ones(n,1); %f为1*n个-1,f相当于Quadprog函数中的c
A = [];
b = [];
Aeq = Y; %相当于Quadprog函数中的A1,b1
beq = 0;
lb = zeros(n,1); %相当于Quadprog函数中的LB，UB
ub = C*ones(n,1);
a0 = zeros(n,1);  % a0是解的初始近似值
[a,fval,eXitflag,output,lambda]  = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,a0,options);

epsilon = 1e-8;
sv_label = find(abs(a)>epsilon);  %0<a<a(max)则认为x为支持向量
svm.a = a(sv_label);
svm.Xsv = X(:,sv_label);
svm.Ysv = Y(sv_label);
svm.svnum = length(sv_label);
%svm.label = sv_label;
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function result = svmTest(svm, Xt, Yt)
temp = (svm.a'.*svm.Ysv)*(svm.Xsv'*svm.Xsv);
total_b = svm.Ysv-temp;
b = mean(total_b);
w = (svm.a'.*svm.Ysv)*(svm.Xsv'*Xt);
result.score = w + b;
Y = sign(w+b);
result.Y = Y;
result.accuracy = size(find(Y==Yt))/size(Yt);
end

注： 代码参考了 http://blog.sina.com.cn/s/blog_631a4cc40101df0f.html

实验结果：