KMP 字符串模式匹配算法

1.一般字符串匹配过程

传统匹配思想是，从目标串Target的第一个字符开始扫描，逐一与模式串的对应字符进行匹配，若该组字符匹配，则检测下一组字符，如遇失配，则退回到Target的第二个字符，重复上述步骤，直到整个Pattern在Target中找到匹配，或者已经扫描完整个目标串也没能够完成匹配为止。这样的算法理解起来很简单，实现起来也容易，但是其中包含了过多不必要的操作，也就是在目标串中，有些字符是可以直接跳过，不必检测的。

不妨假设我们的目标串

Target =  "a b c d e a b c d e a b c d f"

需要匹配的模式串

Pattern = "c d f";

那么当匹配到如下情况时

 



       

 

 

 

由于 'e' != 'f' ，因此失配，那么下次匹配起始位置就是目标串的'd'字符

     



 

 

 

 

 

我们发现这里照样失配，直到运行到下述情况

 



 

 

 

 

 

 

也就是说，中间的四个字符 d e a b 完全没有必要检测，直接跳转到下一个'c'开始的地方进行检测  

由此可见传统算法虽然简单易行，但其中包含了过多的不必要操作，并不能很好地达到实际工作中需要的效率，因此个人认为此方法适合为初识字符串匹配做一个铺垫作用，有抛砖引玉之意。
2.KMP算法

前面提到，KMP算法通过一个“有用信息”可以知道目标串中下一个字符是否有必要被检测，这个“有用信息”就是用所谓的“前缀函数（一般数据结构书中的next函数）”来存储的。这个函数能够反映出现失配情况时，系统应该跳过多少无用字符（也即模式串应该向右滑动多长距离）而进行下一次检测。总的来讲，KMP算法有2个难点：一是这个前缀函数的求法。二是在得到前缀函数之后，怎么运用这个函数所反映的有效信息避免不必要的检测。

对于前缀函数，先要理解前缀是什么：简单地说，如字符串A = "abcde"        B = "ab"

那么就称字符串B为A的前缀，记为B ⊏ A(注意那不是"包含于"，Bill把它读作B前缀于A)，说句题外话——"⊏"这个符号很形象嘛，封了口的这面相当于头，在头前面的就是前缀了。同理可知 C = "e","de" 等都是 A 的后缀，以为C ⊐ A（Bill把它读作C后缀于A）

      

理解了什么是前、后缀，就来看看什么是前缀函数：在这里不打算引用过多的理论来说明，直接引入实例会比较容易理解，看如下示例：

 



      (下述字符若带下标，则对应于图中画圈字符)

这里模式串 P = “ababaca”,在匹配了 q=5 个字符后失配，因此，下一步就是要考虑将P向右移多少位进行新的一轮匹配检测。传统模式中，直接将P右移1位，也就是将P的首字符'a'去和目标串的'b'字符进行检测，这明显是多余的。通过我们肉眼的观察，可以很简单的知道应该将模式串P右移到下图'a3'处再开始新一轮的检测，直接跳过肯定不匹配的字符'b'，那么我们“肉眼”观察的这一结果怎么把它用语言表示出来呢？

 



我们的观察过程是这样的：P的前缀"ab"中'a' != 'b'，又因该前缀已经匹配了T中对应的"ab"，因此，该前缀的字符'a1'肯定不会和T中对应的字串"ab"中的'b'匹配，也就是将P向右滑动一个位移是无意义的。

接下来考察P的前缀"aba"，发现该前缀自身的前缀'a1'与自身后缀'a2'相等，"a1 b a2" 已经匹配了T中的"a b a3"，因此有 'a2' == 'a3', 故得到 'a1' == 'a3'......利用此思想，可推知在已经匹配 q=5 个字符的情况下，将P向右移 当且仅当 2个位移时，才能满足既没有冗余(如把'a'去和'b'比较)，又不会丢失(如把'a1' 直接与 'a4' 开始比较，则丢失了与'a3'的比较)。

而前缀函数就是这样一种函数，它决定了q与位移的一一对应关系，通过它就可以间接地求得位移s。

这就形成了一一对应关系，而这种唯一的关系就是由前缀函数决定的。

这到底是怎样的一种关系呢？

通过对诸多模式串实例的研究，我们会找到一个规律（规律的证明及引理详见《算法导论(第二版)》）。

上例中，P 已经匹配的字符串为"ababa",那么这个字符串中，满足既是自身真后缀(即不等于自身的后缀)，又是自身最长前缀的字符串为"aba"，我们设这个特殊字串的长度为L，显然，L = 3. 故我们要求的 s = q - L = 5 - 3 = 2 ，满足前述分析。   

根据这个规律，即可得到我们要求的有效位移s，等于已经匹配的字符数 q 减去长度 L。

s = q - L

因为这个长度 L 与 q 一一对应，决定于q，因此用一函数来表达这一关系非常恰当，这就是所谓的前缀函数了。

因为已经分析得到该关系为一一对应关系，因此用数组来表示该函数是比较恰当的，以数组的下标表示已经匹配的字符数 q，以下标对应的数据存储 L。
3.前缀函数求解

理解了kmp算法的基本原理，下一步就是要获得字符串f每一个位置的最大公共长度。这个最大公共长度在算法导论里面被记为next数组。在这里要注意一点，next数组表示的是长度，下标从1开始；但是在遍历原字符串时，下标还是从0开始。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i]，分别表示长度为1到i的字符串的前缀和后缀最大公共长度，现在要求next[i+1]。由上图我们可以看到，如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同（下标从零开始），则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同，我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割，获得其最大公共长度next[next[i]]，然后再和位置i的字符比较。这是因为长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成上部的构造，如果位置next[next[i]]和位置i的字符相同，则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等，就可以继续分割长度为next[next[i]]的字符串，直到字符串长度为0为止。由此我们可以写出求next数组的代码（Java版）：

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public int[] getNext(String b)  

{  

    int len=b.length();  

    int j=0;  

          

    int next[]=new int[len+1];//next表示长度为i的字符串前缀和后缀的最长公共部分，从1开始  

    next[0]=next[1]=0;  

          

    for(int i=1;i<len;i++)//i表示字符串的下标，从0开始  

    {//j在每次循环开始都表示next[i]的值，同时也表示需要比较的下一个位置  

        while(j>0&&b.charAt(i)!=b.charAt(j))j=next[j];  

        if(b.charAt(i)==b.charAt(j))j++;  

        next[i+1]=j;  

    }  

          

    return next;  

}  

上述代码需要注意的问题是，我们求取的next数组表示长度为1到m的字符串f前缀的最大公共长度，所以需要多分配一个空间。而在遍历字符串f的时候，还是从下标0开始(位置0和1的next值为0，所以放在循环外面)，到m-1为止。代码的结构和上面的讲解一致，都是利用前面的next值去求下一个next值。

4.字符串匹配

计算完成next数组之后，我们就可以利用next数组在字符串O中寻找字符串f的出现位置。匹配的代码和求next数组的代码非常相似，因为匹配的过程和求next数组的过程其实是一样的。假设现在字符串f的前i个位置都和从某个位置开始的字符串O匹配，现在比较第i+1个位置。如果第i+1个位置相同，接着比较第i+2个位置；如果第i+1个位置不同，则出现不匹配，我们依旧要将长度为i的字符串分割，获得其最大公共长度next[i]，然后从next[i]继续比较两个字符串。这个过程和求next数组一致，所以可以匹配代码如下（java版）：

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public void search(String original, String find, int next[]) {  

    int j = 0;  

    for (int i = 0; i < original.length(); i++) {  

        while (j > 0 && original.charAt(i) != find.charAt(j))  

            j = next[j];  

        if (original.charAt(i) == find.charAt(j))  

            j++;  

        if (j == find.length()) {  

            System.out.println("find at position " + (i - j));  

            System.out.println(original.subSequence(i - j + 1, i + 1));  

            j = next[j];  

        }  

    }  

}  

上述代码需要注意的一点是，每次我们得到一个匹配之后都要对j重新赋值。

复杂度

kmp算法的复杂度是O(n+m)，可以采用均摊分析来解答，具体可参考算法导论。