平面分割，空间分割问题（递推关系）（hdu1249、hdu1290、hdu2050）

  由这一题可以推一类的问题，首先由直线划分区域到折线划分区域，再延伸到封闭图形划分区域，

最后在推广为平面划分空间的问题。
(1) n条直线最多分平面问题
题目:n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。
解析: 可能你以前就见过这题目，这充其量是一道初中的思考题。

      但一个类型的题目还是从简单的入手，才容易发现规律。

      当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。

      则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。

      这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。

      而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。
         故：f(n)=f(n-1)+n
             f(n-1)=f(n-2)+n-1
                 ……

        

             f(2)=f(1)+2
       因为，f(1)=2
       所以，f(n)=n*(n+1)/2 + 1
(2) 折线分平面（hdu2050）

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050

解析：根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。

      当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，

      则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。

      那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。

      但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

       故：f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+1
           f(n-1)=f(n-2) + 4*(n-2)+1
               ......

           f(2)=f(1) + 4*1 + 1 
     因为，f(1)=2
     所以，f(n)=2n^2-n+1
 (3) 封闭图形分平面问题
 <a>三角形划分区域（hdu1249）
  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1249

  解析
知道了直线和折线分割平面的情况这题就很简单了。我们知道，对于第i个三角形来说，其前面已经有了（i-1）个三角形==>有（3i-3）条边，对于第i个三角形，其每一条边最多能和之前的每个三角形的2条边有交点，即能和前面的（2i-2）条边各有一个交点，而这些交点会把第i个三角形的一条边分割成（2i-1）条线段，每一条线段会增加一个平面，这样3条边就增加了（2i-1）×3个平面，考虑到在三角形的三个顶点，在每一个顶点处相邻的两个线段并不会增加平面的数目，所以在三个顶点处的6个线段实质上只增加了3个平面，所以要减去这3个多算的平面数，这样，第i个三角形就会比i-1个三角形形成的平面数多出（2i-1）×3-3=6×（i-1）个了，即递推关系为：f（n）=f（n-1）+6×（i-1）。

<b>圆形划分区域
 题目：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，

            且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
 解析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，

            则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。
 
             故： f(n)=f(n-1)+2*(n-1)    
                  f(n-1)=f(n-2)+2*(n-2)
                        ......
                  f(2)=f(1)+2*1
            因为，f(1)=2
            所以，f(n)=n^2-n+2
(5)平面分割空间问题（hdu1290）
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1290
解析：由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，

      从而决定新增的区域数。

      试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？

      当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。

      要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。

      即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。

      （g（n）为（1）中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，

      则最多增加g（n-1）个空间。
        
        故：f(n)=f(n-1)+g(n-1)    (  ps: g(n)=n(n+1)/2+1  )
            f(n-1)=f(n-2)+g(n-2)
                 ……
            f(2)=f(1)+g(1)
      因为，f(1)=g(1)=2
      所以，f(n)=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）
                =[ (
4000
1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2) - (1+2+3+……+n ) ]/2 + n+ 1
                =(n^3+5n)/6+1
 （注：以上思路参考网络）

 这类问题一般都有固定的公式，告诉大家一个技巧：二维的一般是an^2+bn+c,三维的一般是an^3+bn^2+cn+d.

用带定系数法求出各个系数就OK了，不用想破脑筋找规律。。。。。。

这种方法对类似问题都可以，变通一下好多问题都可以迎刃而解。。



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