平面分割,空间分割问题(递推关系)(hdu1249、hdu1290、hdu2050)
2017-07-03 19:22
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由这一题可以推一类的问题,首先由直线划分区域到折线划分区域,再延伸到封闭图形划分区域,
最后在推广为平面划分空间的问题。
(1) n条直线最多分平面问题
题目:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。
解析: 可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。
但一个类型的题目还是从简单的入手,才容易发现规律。
当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。
则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。
这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。
而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。
故:f(n)=f(n-1)+n
f(n-1)=f(n-2)+n-1
……
f(2)=f(1)+2
因为,f(1)=2
所以,f(n)=n*(n+1)/2 + 1
(2) 折线分平面(hdu2050)
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050
解析:根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。
当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,
则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。
那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。
但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故:f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+1
f(n-1)=f(n-2) + 4*(n-2)+1
......
f(2)=f(1) + 4*1 + 1
因为,f(1)=2
所以,f(n)=2n^2-n+1
(3) 封闭图形分平面问题
<a>三角形划分区域(hdu1249)
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1249
解析
知道了直线和折线分割平面的情况这题就很简单了。我们知道,对于第i个三角形来说,其前面已经有了(i-1)个三角形==>有(3i-3)条边,对于第i个三角形,其每一条边最多能和之前的每个三角形的2条边有交点,即能和前面的(2i-2)条边各有一个交点,而这些交点会把第i个三角形的一条边分割成(2i-1)条线段,每一条线段会增加一个平面,这样3条边就增加了(2i-1)×3个平面,考虑到在三角形的三个顶点,在每一个顶点处相邻的两个线段并不会增加平面的数目,所以在三个顶点处的6个线段实质上只增加了3个平面,所以要减去这3个多算的平面数,这样,第i个三角形就会比i-1个三角形形成的平面数多出(2i-1)×3-3=6×(i-1)个了,即递推关系为:f(n)=f(n-1)+6×(i-1)。
<b>圆形划分区域
题目:设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,
且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
解析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,
则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。
故: f(n)=f(n-1)+2*(n-1)
f(n-1)=f(n-2)+2*(n-2)
......
f(2)=f(1)+2*1
因为,f(1)=2
所以,f(n)=n^2-n+2
(5)平面分割空间问题(hdu1290)
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1290
解析:由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,
从而决定新增的区域数。
试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?
当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。
要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。
即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。
(g(n)为(1)中的直线分平面的个数)此平面将原有的空间一分为二,
则最多增加g(n-1)个空间。
故:f(n)=f(n-1)+g(n-1) ( ps: g(n)=n(n+1)/2+1 )
f(n-1)=f(n-2)+g(n-2)
……
f(2)=f(1)+g(1)
因为,f(1)=g(1)=2
所以,f(n)=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)
=[ (
4000
1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2) - (1+2+3+……+n ) ]/2 + n+ 1
=(n^3+5n)/6+1
(注:以上思路参考网络)
这类问题一般都有固定的公式,告诉大家一个技巧:二维的一般是an^2+bn+c,三维的一般是an^3+bn^2+cn+d.
用带定系数法求出各个系数就OK了,不用想破脑筋找规律。。。。。。
这种方法对类似问题都可以,变通一下好多问题都可以迎刃而解。。
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最后在推广为平面划分空间的问题。
(1) n条直线最多分平面问题
题目:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。
解析: 可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。
但一个类型的题目还是从简单的入手,才容易发现规律。
当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。
则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。
这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。
而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。
故:f(n)=f(n-1)+n
f(n-1)=f(n-2)+n-1
……
f(2)=f(1)+2
因为,f(1)=2
所以,f(n)=n*(n+1)/2 + 1
(2) 折线分平面(hdu2050)
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050
解析:根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。
当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,
则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。
那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。
但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故:f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+1
f(n-1)=f(n-2) + 4*(n-2)+1
......
f(2)=f(1) + 4*1 + 1
因为,f(1)=2
所以,f(n)=2n^2-n+1
(3) 封闭图形分平面问题
<a>三角形划分区域(hdu1249)
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1249
解析
知道了直线和折线分割平面的情况这题就很简单了。我们知道,对于第i个三角形来说,其前面已经有了(i-1)个三角形==>有(3i-3)条边,对于第i个三角形,其每一条边最多能和之前的每个三角形的2条边有交点,即能和前面的(2i-2)条边各有一个交点,而这些交点会把第i个三角形的一条边分割成(2i-1)条线段,每一条线段会增加一个平面,这样3条边就增加了(2i-1)×3个平面,考虑到在三角形的三个顶点,在每一个顶点处相邻的两个线段并不会增加平面的数目,所以在三个顶点处的6个线段实质上只增加了3个平面,所以要减去这3个多算的平面数,这样,第i个三角形就会比i-1个三角形形成的平面数多出(2i-1)×3-3=6×(i-1)个了,即递推关系为:f(n)=f(n-1)+6×(i-1)。
<b>圆形划分区域
题目:设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,
且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
解析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,
则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。
故: f(n)=f(n-1)+2*(n-1)
f(n-1)=f(n-2)+2*(n-2)
......
f(2)=f(1)+2*1
因为,f(1)=2
所以,f(n)=n^2-n+2
(5)平面分割空间问题(hdu1290)
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1290
解析:由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,
从而决定新增的区域数。
试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?
当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。
要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。
即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。
(g(n)为(1)中的直线分平面的个数)此平面将原有的空间一分为二,
则最多增加g(n-1)个空间。
故:f(n)=f(n-1)+g(n-1) ( ps: g(n)=n(n+1)/2+1 )
f(n-1)=f(n-2)+g(n-2)
……
f(2)=f(1)+g(1)
因为,f(1)=g(1)=2
所以,f(n)=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)
=[ (
4000
1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2) - (1+2+3+……+n ) ]/2 + n+ 1
=(n^3+5n)/6+1
(注:以上思路参考网络)
这类问题一般都有固定的公式,告诉大家一个技巧:二维的一般是an^2+bn+c,三维的一般是an^3+bn^2+cn+d.
用带定系数法求出各个系数就OK了,不用想破脑筋找规律。。。。。。
这种方法对类似问题都可以,变通一下好多问题都可以迎刃而解。。
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