挑战程序竞赛系列（18）：3.1查找第k大的值

挑战程序竞赛系列（18）：3.1查找第k大的值

详细代码可以fork下Github上leetcode项目，不定期更新。

练习题如下：

POJ 3685: Matrix

POJ 3579:Median

POJ 3685: Matrix

可以发现每一列关于i是单调递增的，利用这个性质就可以二分了。这种关于查找第k大的二分模式还和我之前遇到的一般二分模式有所区别，可以观察它的while循环结构：

while (rt - lf > 1){
long mid = (rt + lf) / 2;
if (check(mid)) rt = mid;
else lf = mid;
}
System.out.println(rt);

嘿，这样就能找到第k大的值了，神奇。简单说明一下，因为lf和rt只会赋值成mid，所以不管抛弃左半部分还是右半部分，抛弃的都是lf-1和rt+1，当遇到

<m

的情况，lf = mid，表面lf-1的值都不可能是第m小的值，而

>=m

的情况比较特殊，在rt+1的右边也不可能是第m小的值，在rt处能够满足

>=m

。这说明，mid还在[lf,rt]范围内，接着迭代，直到rt - lf == 1的情况，为什么不是到rt == lf的情况呢？

没有必要，因为我们知道，能够使得lf = mid的情况，是check(mid)过了，而在check的返回是

cnt<m

的情况，所以可以这么理解：

在check(lf)处时，已经是

<m

的情况，所以没必要把真正的rt上界更新到lf。

另外一点也可以帮助理解这个循环式：

起码第m小的元素可能存在重复的情况，所以我们真正关注的在于

<m

的情况，具体有

>=m

的个数是多少并不关心，只要符合

>=m

，这个第m小的数总能被求出。

或者可以这么理解：

找到一个区间[l, l + 1]，满足check(l) 是 < m 的情况，而check(l+1)时，则是>=m的情况，那么自然地，这个第m小的值就是l+1了。

说明这值一定存在，否则check的累加值怎么会改变呢？

代码如下：

static int n;
static long m;
public static void main(String[] args) throws IOException {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int N = in.nextInt();
while (N-->0){
n = in.nextInt();
m = in.nextLong();
long lf = -25000000001l;
long rt = 25000000001l;
while (rt - lf > 1){
long mid = (rt + lf) / 2;
if (check(mid)) rt = mid;
else lf = mid;
}
System.out.println(rt);
}
in.close();
}

//注意，需要改成long而不是int，否则在计算时，会溢出，导致WA
public static long f(long i, long j){
return i * i + 100000 * i + j * j - 100000 * j + i * j;
}

public static boolean check(long mid){

long cnt = 0;
for (int j = 1; j <= n; ++j){
cnt += binarySearch(j, mid);
}
return cnt >= m;
}

public static long binarySearch(int j, long key){
int lf = 1, rt = n;
while (lf < rt){
int mid = lf + (rt - lf + 1) / 2;
if (f(mid, j) > key) rt = mid - 1;
else lf = mid;
}
if (f(lf, j) <= key) return lf;
return 0;
}

POJ 3579:Median

有了上一题的基础，这道题就不难解决了，但没想到用Scanner居然会超时，在网上看到了一种解决方案，终于过了。

首先能想到的是对原数组进行排序，之所以排序，是因为好统计

<=mid

的次数，而且很直观的一个想法是，一旦排序，长度为1的间隔一定比长度为2的间隔来得小，而这些值都是我们求mid需要考虑的，有序性能很好的加快搜索。

代码如下：

static int[] nums;
static int N;
static int C;
public static void main(String[] args) throws IOException {
StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new BufferedReader(
new InputStreamReader(System.in)));
while (st.nextToken()!=StreamTokenizer.TT_EOF) {
N = (int)st.nval;
nums = new int
;
for (int i = 0; i < N; ++i){
st.nextToken();
nums[i] = (int)st.nval;
}
Arrays.sort(nums);
C = N * (N - 1) / 2;
int lf = 0, rt = nums[N-1] - nums[0] + 1;
while (rt - lf > 1){
int mid = (lf + rt) / 2;
if (valid(mid)) rt = mid;
else lf = mid;
}
System.out.println(rt);
}
}

public static boolean valid(int mid){
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < N - 1; ++i){
int pos = binarySearch(nums, i + 1, N - 1, nums[i] + mid);
if (pos != -1){
cnt += (pos - i);
}
}
return cnt >= (C + 1) / 2;
}

public static int binarySearch(int[] nums, int lf, int rt, int key){
while (lf < rt){
int mid = lf + (rt - lf + 1) / 2;
if (nums[mid] > key) rt = mid - 1;
else lf = mid;
}
if (nums[lf] <= key) return lf;
return -1;
}