关于树状数组区间修改和查询详解

原版介绍

这里我想再加上自己的理解，解释一下。

现在我们需要的是把某个区间的值修改，然后查询

我们设原数组为

a[1] a[2] …. a


我们添加一个c1数组 来记录此项与前一项的差值 即

c1[i] = a[i] - a[i-1]

再添加上c2数组，根据公式c1与c2的关系（下面会说到）

c2[i] = (i-1)*(a[i] - a[i-1])

下面是推导过程：

a[1]+a[2]+…+a

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + … + (c[1]+c[2]+…+c
)

= n * c[1] + (n-1) * c[2] +… +c

= n * (c[1]+c[2]+…+c
) - (0 * c[1]+1* c[2]+…+(n-1) * c
) ①

这就是三者之间关系，根据规律，提取公式

0 * c[1] + 1* c[2] + … + (n-1) * c
→用c2记录 → c2[i] = (i-1)*c[i]

根据①式，我们得出

原式 = n*sigma(c1, n) - sigma(c2, n) //sigma（c1, n）代表c1数组的前n项和

这里才能体现出c2的作用 → 帮助更好的计算

这样前提工作做好了

首先第一个要求是把区间 [left，right] 内所有的数加上 x

这里我们写一个和单个修改类似的函数add

void add(ll *a, ll pos, ll x) {
while( pos <= n ) {
a[pos] += x;
pos += lowbit(pos);
}
}

通过这个函数，其实是把从 left 开始以后的数全都加上了 x 所以需要减掉 right 以后的数

add(c1, left, x);
add(c1, right+1, -x);

由于c1数组变化了，所以c2数组也要变化

add(c2, left, (left-1)*x); //更新标记数组
add(c2, right+1, -right*x); //把多余的去掉

同样还是需要减去多加的数字

这样的话就已经完成了修改，只需要把sigma函数写出来输出就可以了

这只是其中一种做法

下面是一个模板例题

例题：线段树练习

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define lowbit(x) x&(-x)
#define maxn 200010
#define ll long long
using namespace std;
ll n;
ll a[maxn];//原数组
ll c1[maxn];//差值数组
ll c2[maxn];//根据差值数组根据关系推得的一组数据 起名为标记数组
ll sigma(ll *a, ll pos) {
ll sum = 0;
while(pos > 0) {
sum += a[pos];
pos -= lowbit(pos);
}
return sum;
}
void add(ll *a, ll pos, ll x) {
while( pos <= n ) {
a[pos] += x;
pos += lowbit(pos);
}
}
int main() {
cin >> n;
for(ll i = 1; i <= n; i++) {
cin &
ab34
gt;> a[i];
add(c1, i, a[i] - a[i-1]); //把该项与前一项的差值记录下来
add(c2, i, (i-1)*(a[i] - a[i-1])); //根据公式来更新标记数组
}
ll t;
cin >> t;
while( t-- ) {
ll index, left, right, x;
cin >> index;
if(index == 1) {
cin >> left >> right >> x;
add(c1, left, x); //更新数组
add(c1, right+1, -x); //由于前面更新过，把多余的减去
add(c2, left, (left-1)*x); //更新标记数组
add(c2, right+1, -right*x); //把多余的去掉
}  //右边界都要去掉，因为到该项结束，但是不能修改

if(index == 2) {
cin >> left >> right;
ll sum1 = (left-1)*sigma(c1, (left-1)) - sigma(c2, (left-1));//公式
ll sum2 = right*sigma(c1, right) - sigma(c2, right);
cout << sum2 - sum1 << endl;
}
}
return 0;
}