三角函数公式推导

最近在看机器学习的算法，用到的线代高数的东西已经完全记不清了，于是这些天要快速复习一下大学和数学相关的这些内容，今天刚开始，看到三角函数，想起了六七年前站在高中的讲台上给同学讲三角函数推导过程的样子，告诉他们不要记公式，要会推导。现在想来，有一种少年习武，习成下山，到山下却发现打架用的是飞机大炮，学了几年开飞机，招式渐渐荒废了，如今再打起拳的感觉，既熟悉又陌生。

三角函数公式因为其定义就决定了这些公式都是必然成立的，所以从哪个角度去求证都可以最后推导出这些。

我的推导需要坐标系的三个点：A(cos(x),sin(x))，B(cos(y),-sin(y))sin(y)),C(cos(x+y),sin(s+y))，坐标系原点是O，设点(1,0)为X，∠AOB=∠COX=(x+y)，易得AB=CX，即(cos(x)-cos(y))^2 + (sin(x)-sin(y))^2=(1-cos(x+y))^2 + sin(x+y)^2,推导出cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)，利用平方和等于1推导出sin(x+y)，令y=-y和三角函数奇偶性推导出cos(x-y)和sin(x-y).

sin(x)+sin(y)中令x=(x+y)/2 + (x-y)/2,y=(x+y)/2 - (x-y)/2,再用上段推导的公式展开得出sin(x)+sin(y)=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)的和差化积公式

有了以上公式，其他类似与二倍角之类的易推得。