数学建模--迪克斯特拉（ Dijkstra）算法

先贴上迪克斯特拉算法的原理，该算法又称为PT标号法，对于算法的定义和步骤比较难以理解，只需要粗略看一下就好。Dijkstra’s Algorithm 基本思想：

若给定带权有向图G=(V,E)和源顶点v0，构筑一个源集合S，将v0加入其中。

① 对差集V\S中 个顶点vi，逐一计算从v0 至它的距离 D(v0 , vi ),若该两顶点之间没有边，则其距离为无穷大。求出其中距离最短 的顶点w，将其加入到集合 S 中。

② 重新计算 v0 至差集 V\S 中各顶点的距离 D（v0, vi ）= Min(D(v0, vi ), D(v0, w ) + C(w, vi )).其中C（w, vi ）是顶点w 与 vi 之 间边上的费用。

③ 重复 步骤①②。直至所有的顶点都加到集合S 中为止。

算法结束时， 从 u0 到各顶点 v 的距离由 v 的最后一次的标号 l(v) 给出。 在 v 进入 Si

之前的标号 l(v) 叫 T 标号， v 进入 Si 时的标号 l(v) 叫 P 标号。算法就是不断修改各顶

点的 T 标号，直至获得 P 标号。若在算法运行过程中，将每一顶点获得 P 标号所由来

的边在图上标明，则算法结束时， u0 至各项点的最短路也在图上标示出来了。

关于Dijkstra的算法我推荐看一下中国民航学院的一个视频，我把它保存到百度云，有兴趣可以看看，链接: http://pan.baidu.com/s/1jIDUnEQ 密码: gbh2

下面直接粘贴上matlab代码，该代码不是我原创的，我只是在原代码上增加了注释。

function [d index1 index2] = Dijkf(a)
%a 表示图的权值矩阵
%d 表示所求最短路的权和
%index1 表示标号的顶点顺序
%index2 表示标号顶点索引

M = max(max(a));
pb(1: length(a)) = 0;%初始化pb矩阵，清零
%该矩阵主要是用来标示矩阵d中P标号和T标号的分布情况，
%为0则该点属于T标号点，为1则该点属于P标号点

%初始化起点
pb(1) = 1;
index1 = 1;
index2 = ones(1, length(a));
d(1: length(a)) = M;
d(1) = 0;
temp = 1;

while sum(pb) < length(a)
tb = find(pb == 0);%找出未进行P标号即进行T标号的在d中的索引
d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb));%T(v)=min(T(v),l(uv)+T(v))
tmpb = find(d(tb) == min(d(tb)));%tmpb等于T标号中的点的最小 值在d中的索引
temp = tb(tmpb(1));%temp等于T标号的最小值第一个点在d中的索引
pb(temp) = 1;%将T标号的点进行P标号
index1 = [index1, temp];%将找到的temp加入到index1中,表示已经找到到底该点的最短路
index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));%找出到达该点最短路径中的前面的点
if length(index) >= 2
index = index(1);%取最前面的一个点添加到index2中
end
index2(temp) = index;
end
d;
index1;
index2;

在这段代码中最难懂的是这行代码：

index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));

首先是d(temp)表示最近被P标号的点距离起点的最短路径，d(index1) 已经P标号的所有点的最短路径，如果d(index1) == d(temp) - a(temp, index1))成立，这说明index1（1）是该最短路径中到达点temp的前面一个点，反之则不是该路径的点。



下面通过上图粗略解释一下该代码的原理，首先假设在前面计算中点1 2 3 4都是index1中的点，从1到4的最短路径是1-3-4，该路径长为d（4），假设取index1中的2点（不是最短路径的点），d（4）-a（2，4）~=d（3）（a（2，4）表示2-4的长），取index1中的3，d（4）-a（2，3） == d（3），所以3是该最短路径上的点。