回溯法解决最小机器重量问题

1.问题描述：

       设某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。设 wij 是从供应商j
处购得的部件i的重量，cij 是相应的价格。
试设计一个回溯算法，对于给定的机器部件重量和机器部件价格，计算总价格不超过c的最小重量机器设计。

2.解题思路：

    由于题目已经给出总价格的上限，因此算法通过使用回溯来选择合适的机器使得在总价格不超过d时得到的机器重量最小。首先初始化当前价格cp=0,当前重量cw=0,此外，还要设置一个变量sum表示选择机器的总重量，初始化其为每个部件从1号供应商购买的重量。在循环选择i号机器时，判断从j号供应商购买机器后的价格是否大于总价格，如果不大于则选择，否则不选，继续选择下一供应商进行判断。在得到一个合适的供应商后，继续选择下一机器的供应商，从第一个选到最后一个供应商。当所有机器选择结束后，判断得到的总重量是否比之前的sum小，如果小就赋给sum，然后从这一步开始，回溯到上一机器，选择下一合适供应商，继续搜索可行解，直到将整个排列树搜索完毕。这样，最终得到的sum即为最优解。 
     当然，考虑到算法的时间复杂度，还可以加上一个剪枝条件，即在每次选择某一机器时，再判断选择后的当前重量是否已经大于之前的sum，如果大于就没必要继续搜索了，因为得到的肯定不是最优解。

3.算法设计：

       回溯法要求要给出约束条件，很明显：总价格不超过c，
设当前已选部件的重量和为cw，价格之和为cc，
当前最优重量用bestw表示，初始化bestw=∞；
限界条件：cw<bestw;
a.部件有n个，供应商有m个，分别用w[i][j]和c[i][j]存储从供应商j
处购得的部件i的重量和相应价格，d为总价格的上限。 
b.用递归函数backtrack(i)来实现回溯法搜索排列树（形式参数i表示递归深度）。 
  ① 若cp>d，则为不可行解，剪去相应子树，返回到i-1层继续执行。 
  ② 若cw>=sum，则不是最优解，剪去相应子树，返回到i-1层继续执行。 
  ③ 若i>n，则算法搜索到一个叶结点，用sum对最优解进行记录，返回到i-1层继续执行； 
  ④ 用for循环对部件i从m个不同的供应商购得的情况进行选择(1≤j≤m）。 
c.主函数调用一次Knapsack(1)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的sum即为所求最小总重量。

4.代码：
程序中最大的循环出现在递归函数backtrack(i)中，而此函数遍历排列树的时间复杂度为O(n!),故该算法的时间复杂度为O(n!)。

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#include<iostream>  

#include<stdio.h>  

using namespace std;  

int w[100][100];//w[i][j]为第i个零件在第j个供应商的重量  

int c[100][100];//c[i][j]为第i个零件在第j个供应商的价格  

int bestx[100];//bestx[i]表示一次搜索到底后的最优解，用来存放第i个零件的供应商，  

int x[100];//x[i]临时存放第i个零件的供应商  

int cw=0,cc=0,bestw=10000;  

int cost;//限定价格  

int n;//部件数  

int m;//供应商数  

void Backtrack(int t)  

{  

    int j;  

    if(t>n)//搜索到叶子结点，一个搜索结束，所有零件已经找完  

    {  

        bestw=cw;//当前最小重量  

        for(j=1;j<=n;j++)  

            bestx[j]=x[j];  

    }  

    else  

    {  

        for(j=1;j<=m;j++)  

        {  

            if(cc+c[t][j]<=cost && cw+w[t][j]<bestw)  

            {  

                x[t]=j;  

                cc+=c[t][j];  

                cw+=w[t][j];  

                Backtrack(t+1);  

                cc-=c[t][j];  

                cw-=w[t][j];  

            }  

        }  

    }  

}  

  

int main()  

{  

    int i,j;  

    cout<<"请输入部件数："<<endl;  

    cin>>n;  

    cout<<"请输入供应商数："<<endl;  

    cin>>m;  

    cout<<"请输入限定价格："<<endl;  

    cin>>cost;  

    cout<<"请输入各部件的在不同供应商的重量："<<endl;  

    for(i=1; i<=n; i++)  

        for(j=1; j<=m; j++)  

            cin>>w[i][j];  

    cout<<"请输入各部件的在不同供应商的价格："<<endl;  

    for(i=1; i<=n; i++)  

        for(j=1; j<=m; j++)  

            cin>>c[i][j];  

    Backtrack(1);  

    cout<<"每个部件的供应商："<<endl;  

    for(i=1;i<=n;i++)  

        cout<<bestx[i]<<' ';  

    cout<<endl;  

    cout<<bestw;  

    return 0;  

}  

/* 

测试数据: 

3 

3 

7 

1 2 3 

3 2 1 

2 3 2 

1 2 3 

5 4 2 

2 1 2 

*/  



另一种写法：

[cpp] view
plain copy

#include<iostream>  

#define N 1000  

using namespace std;  

  

int n,m,d,cp=0,cw=0,sum=0;  

int c

,w

;  

  

void backtrack(int i){  

     if(i>n){  

       if(cw<sum)  

         sum = cw;  

       return ;  

     }  

     for(int j=1;j<=m;j++){  

         cw+=w[i][j];  

         cp+=c[i][j];  

         if(cw<sum && cp<=d)  

           backtrack(i+1);  

         cw-=w[i][j];  

         cp-=c[i][j];  

     }  

}  

  

int main(){  

    cin>>n>>m>>d;  

    for(int i=1;i<=n;i++){  

      for(int j=1;j<=m;j++)  

        cin>>c[i][j];  

      sum+=c[i][1];  

    }  

    for(int i=1;i<=n;i++)  

      for(int j=1;j<=m;j++)  

        cin>>w[i][j];  

    backtrack(1);  

    cout<<sum<<endl;  

    system("pause");  

    return 0;  

}