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n阶乘后面0的个数+组合数学结果0的个数举例+公式推导

2017-06-10 22:08 489 查看

先挂上一题，用作例子。

(n!%(10^k))==0.

已知n，求能使上式成立的k的最大值。
例如 5！= 120 有1个0，10！= 3628800 ，有2个0。
很明显，阶乘中所有数的因子中有一个2和一个5即产生一个0。但是转念想到，因子2明显比5多，所有只计算5的个数就可以。
10！ = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1，5分离出来一个5,10也分离出来一个。
下面对这个结论进行证明：
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。
说白了，100！就是100/5 = 20，所以可以先提出20个5来，但是25，50,75,100还能再提出5来，即100/5^2 = 4,没有可以提出3个5的来，所以20+4 = 24,100！末尾有24个0。
附上AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int t;
ll n,sum = 0;
cin>>t;
while(t--)
{
sum = 0;
cin>>n;
for(ll i = 5;i<= n;i*= 5)
{
sum+= n/i;
}
cout<<sum<<endl;
}
return 0;
}

然后就来了这样一个题：
zjc的ACgirls队的队员最近比较忙，为了能够取得更好的比赛成绩，他们制定了一个m天a掉n题的计划，a掉一题可以是这m天的任何时候。
为了表示对acmer事业的热爱，队长wc要求每天必须至少要ac掉k题，这m天每天ac掉的题数可以用一个m元组表示。
设不同的m元组一共有c个，请问c的末尾有多少个0？（如果c是0，输出0）
这个题就必须考虑2了，因为2不一定比5多，也就是2和5哪个个数少就按哪个算。
这个题用高中组合数学学的插板法比较好做，先给每天安排k-1（k=0除外）个题（为何不安排k个题后面说明），剩下n-(k-1)*m道题，产生n-(k-1)*m-1个空隙（插板只插题目中间的空隙，这里也就说明了为何前面不安排k个题目了，自己写写就清楚了），插进m-1个板，即C(n-(k-1)*m-1,m-1)。
根据前面的经验，因子数2的个数就是（n-(k-1)*m-1）!中2的因子数减去（n-(k-1)*m-1-（m-1））
= (n-k*m)!中2的因子数再减去(m-1)!中2的因子数。计算因子为5的个数同理。
附上代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
ll m,n,k;
while(~scanf("%lld %lld %lld",&m,&n,&k))
{
ll x = m-1,y = n+(1-k)*m-1;
ll sum2 = 0,sum5 = 0;
ll ans;
for(ll i = 2;i<= y;i*= 2)
sum2+= y/i-(y-x)/i-x/i;
for(ll i = 5;i<= y;i*= 5)
sum5+= y/i-(y-x)/i-x/i;
ans = sum2>sum5?sum5:sum2;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

继续加油！

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标签： ACM 数学排列组合

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