动态规划之矩阵链乘法

问题描述与分析：

给定n个矩阵的序列，（A1，A2…An）,我们希望计算他们的乘积

A1*A2..*An

例如如果矩阵链为（A1 A2 A3 A4 ） 那么共有五种完全括号化的形式：

运用动态规划方法：

第一步：寻找最优子结构，为了对AiAi+1..Aj 进行括号化，假设最优括号化方案在  Ak,Ak+1之间，则首先计算 Ai..k和Ak+1..Aj

第二步：一个递归求解方案，令m[i,j]为Ai...j所需标量乘法的最小值
即
m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1*pk*pj

矩阵 Ai 的大小 为 pi-1*pi

第三步：  计算最优代价：

void matrix_chain_order(int *p, int len, int m[N + 1][N + 1], int s[N + 1][N + 1])
{
int i, j, k, t;
for (i = 0; i <= N; ++i)
m[i][i] = 0;
for (t = 2; t <= N; t++)  //当前链乘矩阵的长度
{
for (i = 1; i <= N - t + 1; i++)  //从第一矩阵开始算起，计算长度为t的最少代价
{
j = i + t - 1;//长度为t时候的最后一个元素
m[i][j] = MAXVALUE;  //初始化为最大代价
for (k = i; k <= j - 1; k++)   //寻找最优的k值，使得分成两部分k在i与j-1之间
{
int temp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
if (temp < m[i][j])
{
m[i][j] = temp;   //记录下当前的最小代价
s[i][j] = k;      //记录当前的括号位置，即矩阵的编号
}
}
}
}
}

下面实现示例：

p={30*35,35*15,15*5,5*10,10*20,20*25};

N=6;

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 6
#define MAXVALUE 1000000

void matrix_chain_order(int *p, int len, int m[N + 1][N + 1], int s[N + 1][N + 1]);
void print_optimal_parents(int s[N + 1][N + 1], int i, int j);

int main()
{
int p[N + 1] = { 30,35,15,5,10,20,25 };
int m[N + 1][N + 1] = { 0 };
int s[N + 1][N + 1] = { 0 };
int i, j;
matrix_chain_order(p, N + 1, m, s);
cout << "m value is: " << endl;
for (i = 1; i <= N; ++i)
{
for (j = 1; j <= N; ++j)
cout << m[i][j] << " ";
cout << endl;
}
cout << "s value is: " << endl;
for (i = 1; i <= N; ++i)
{
for (j = 1; j <= N; ++j)
cout << s[i][j] << " ";
cout << endl;
}
cout << "The result is:" << endl;
print_optimal_parents(s, 1, N);
system("pause");
return 0;
}

void matrix_chain_order(int *p, int len, int m[N + 1][N + 1], int s[N + 1][N + 1])
{
int i, j, k, t;
for (i = 0; i <= N; ++i)
m[i][i] = 0;
for (t = 2; t <= N; t++)  //当前链乘矩阵的长度
{
for (i = 1; i <= N - t + 1; i++)  //从第一矩阵开始算起，计算长度为t的最少代价
{
j = i + t - 1;//长度为t时候的最后一个元素
m[i][j] = MAXVALUE;  //初始化为最大代价
for (k = i; k <= j - 1; k++)   //寻找最优的k值，使得分成两部分k在i与j-1之间
{
int temp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
if (temp < m[i][j])
{
m[i][j] = temp;   //记录下当前的最小代价
s[i][j] = k;      //记录当前的括号位置，即矩阵的编号
}
}
}
}
}

//s中存放着括号当前的位置
void print_optimal_parents(int s[N + 1][N + 1], int i, int j)
{
if (i == j)
cout << "A" << i;
else
{
cout << "(";
print_optimal_parents(s, i, s[i][j]);
print_optimal_parents(s, s[i][j] + 1, j);
cout << ")";
}

}

m value is:
0 15750 7875 9375 11875 15125
0 0 2625 4375 7125 10500
0 0 0 750 2500 5375
0 0 0 0 1000 3500
0 0 0 0 0 5000
0 0 0 0 0 0
s value is:
0 1 1 3 3 3
0 0 2 3 3 3
0 0 0 3 3 3
0 0 0 0 4 5
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0
The result is:
((A1(A2A3))((A4A5)A6))请按任意键继续. . .