牛顿迭代法

历史简介

（摘自百度百科）

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。该方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。

算法

欲求某方程 f(X) = 0 的根，按照以下步骤进行求解：

令X0 = 1（也可以选择其他值）

i = 0, 1, 2…..

（1）、求出 f（Xi） 和 导数f’( Xi )

（2）、令 X i+1 = Xi - ( f（Xi）/ f’( Xi ) )

（3）、将 X i+1 带入方程 f(X) 计算方程值，当方程值与目标值的误差小于预定值时，退出算法输出 X i+1 即为方程根，否则退回（1）步继续计算。

算法推导

对于函数 f(X) 来说， y = f’( Xi )*(X - Xi) + f（Xi），为经过点 （Xi , f（Xi））的切线，令 y = 0 计算得到：X = Xi - ( f（Xi）/ f’( Xi ) ) 为切线与 x 轴的交点的横坐标，根据下图所示，不断计算切线与 x 轴的交点就可以不断逼近方程的根：



（上图来源于网络）

算法应用—求解立方根

要求不能使用库函数，求解一个数的立方根。

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

double abs(double a){
return a>0? a : -a;
}

double f(double y){
double x;
for(x = 1; abs(x*x*x-y)>0.00000001; x=(2*x+y/x/x)/3);
return x;
}

int main(){
double y;
while(cin>>y){
cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(1);
cout<<f(y)<<endl;
}
return 0;
}