常用算法总结-贪心算法

五大常用算法总结-【分治、动态规划、贪心、回溯、分支界定】
贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。
首先了解一下两个比较重要的基本要素：
【贪心选择】
贪心选择是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。贪心选择是采用从顶向下、以迭代的方法做出相继选择，每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择的性质，我们必须证明每一步所作的贪心选择最终能得到问题的最优解。通常可以首先证明问题的一个整体最优解，是从贪心选择开始的，而且作了贪心选择后，原问题简化为一个规模更小的类似子问题。然后，用数学归纳法证明，通过每一步贪心选择，最终可得到问题的一个整体最优解。
 
【最优子结构】
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响，而动态规划则不是。贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择，不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择，有回退功能。动态规划主要运用于二维或三维问题，而贪心一般是一维问题。
贪心算法实现策略
从问题的某一初始解出发；
while （能朝给定总目标前进一步）
{
      利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；
}
由所有解元素组合成问题的一个可行解；
贪心策略的选择

     因为用贪心算法只能通过解局部最优解的策略来达到全局最优解，因此，一定要注意判断问题是否适合采用贪心算法策略，找到的解是否一定是问题的最优解。

 
[例题分析]

 

   下面是一个可以试用贪心算法解的题目，贪心解的确不错，可惜不是最优解。

   [背包问题]有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。

   要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

   物品 A B C D E F G

   重量 35 30 60 50 40 10 25

   价值 10 40 30 50 35 40 30

   分析：

   目标函数： ∑pi最大

   约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M( M=150)

   （1）根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？

   （2）每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？

   （3）每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略。

   值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。

   贪心算法还是很常见的算法之一，这是由于它简单易行，构造贪心策略不是很困难。

   可惜的是，它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。

   一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。

   对于例题中的3种贪心策略，都是无法成立（无法被证明）的，解释如下：

   （1）贪心策略：选取价值最大者。反例：

   W=30

   物品：A B C

   重量：28 12 12

   价值：30 20 20

   根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取了，可是，选取B、C则更好。

   （2）贪心策略：选取重量最小。它的反例与第一种策略的反例差不多。

   （3）贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。反例：

   W=30

   物品：A B C

   重量：28 20 10

   价值：28 20 10

   根据策略，三种物品单位重量价值一样，程序无法依据现有策略作出判断，如果选择A，则答案错误。