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图的一些基础概念

2017-05-18 10:46 92 查看

用n表示图中顶点数目，e表示边或弧的数目：

（1）        对于无向图，e的取值范围是0~N(N-1)/2;有N(N-1)/2条边的无向图叫完全图。

（2）        对于有向图，e的取值范围0~N(N-1);相应的有N(N-1)条边的有向图叫有向完全图。

（3）        对于图中任意两点都是连通的，叫做连通图；连通分量指的是无向图中极大连通子图；

（4）        在有向图中，若对于每一对顶点都存在路径，称图为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量；

一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边;

如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图；

如果一个图多余n-1条边，则一定有环；

有n-1条边的图不一定是生成树；

图的存储结构：

1)邻接矩阵（构造一个具有n个顶点和e条边的无向图的时间复杂度为O(n^2+e*n)）,其中对邻接矩阵初始化耗费O(n^2)、

2)邻接表（在建立邻接表或逆邻接表时，若输入的顶点信息即为顶点编号，则建立邻接表的时间复杂度为O(n+e)；否则需要通过查找才能找到顶点在图中的位置，时间复杂度为O(n.e)）、

3）邻接多重表（与邻接表的区别在于同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点）、

4）十字链表（与建立邻接表相同的时间复杂度）。

遍历图的实质是对每个顶点查找器邻接点的过程。

用邻接矩阵作图的存储结构时，查找每个顶点的邻接点所需要的时间为O(n^2)；

用邻接表作图的存储结构时，查找邻接点所需要的时间为O(e)；当用邻接表作存储结构时，深度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n+e)。

一颗生成树的代价就是树上各边的代价之和。

构造最小生成树算法多利用了MST性质。主要算法有 Prim算法（时间复杂度为O(n^2)，与网中边数无关，适用于求边稠密的最小生成树）和
Kruskal算法（时间复杂度为O(e log e)，适合于求边稀疏的最小生成树）。

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