CSUOJ 1503: 点到圆弧的距离 [叉积+三角形外心]【计算几何】

题目链接：http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=1503

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1503: 点到圆弧的距离

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Description

输入一个点P和一条圆弧（圆周的一部分），你的任务是计算P到圆弧的最短距离。换句话说，你需要在圆弧上找一个点，到P点的距离最小。

提示：请尽量使用精确算法。相比之下，近似算法更难通过本题的数据。

Input

输入包含最多10000组数据。每组数据包含8个整数x1, y1, x2, y2, x3, y3, xp, yp。圆弧的起点是A(x1,y1)，经过点B(x2,y2)，结束位置是C(x3,y3)。点P的位置是 (xp,yp)。输入保证A, B, C各不相同且不会共线。上述所有点的坐标绝对值不超过20。

Output

对于每组数据，输出测试点编号和P到圆弧的距离，保留三位小数。你的输出和标准输出之间最多能有0.001的误差。

Sample Input

0 0 1 1 2 0 1 -1

3 4 0 5 -3 4 0 1

Sample Output

Case 1: 1.414

Case 2: 4.000

Hint

Source

湖南省第十届大学生计算机程序设计竞赛

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首先能确定的是,在圆弧所在的扇形的角内的点,最近距离是

dis(p,r)

,否则是

min(dis(p,a),dis(p,c))

.

所以就是如何确定在不在扇形所在的角内了 扇形所在的角如下图所示



分为劣弧和优弧,

在判断上要有所不同,



劣弧

劣弧的时候很好判定这里运用了向量叉积的判定方法,只要ra−→和rp→在rc→的同一侧且rc→和rp→在ra−→的同一侧 就能保证了,

优弧

优弧的时候麻烦一些,对于p’ 可以和劣弧相同,不赘述

对于p和p”却要不一样, 首先我们只要b可以再弧上的任意位置,以b为参考点是不行的.

但其实仔细观察∠arc和点p” 其实发现这就是反过来的劣弧的情况,所以在判断是优弧的情况下来重复劣弧的过程就行了,

那么就只剩下怎么判断优劣弧,

其实只要判断∠abc的角度就好了 大于90度就是劣弧,小于90度就是优弧,(不解释)

为了方便计算我们转化为余弦公式计算,判断正负就好了

附本题代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL ;
const int N = 1000+7;
const int MOD = 1000000007;
#define abs(x)  (((x)>0)?(x):-(x))

/***************************************/

struct point{
double x,y;
}a,b,c,r,p;

double dis(point a,point b){
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

double dis2(point a,point b){
return ((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

double mutli(point p1,point p2,point p3){
return ((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y) - (p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x));
}

point solvepointR(){
double  x1,x2,x3,y1,y2,y3;

x1=a.x,y1=a.y;
x2=b.x,y2=b.y;
x3=c.x,y3=c.y;

point t;
t.x=((y2-y1)*(y3*y3-y1*y1+x3*x3-x1*x1)-(y3-y1)*(y2*y2-y1*y1+x2*x2-x1*x1))/(2*(x3-x1)*(y2-y1)-2*((x2-x1)*(y3-y1)));
t.y=((x2-x1)*(x3*x3-x1*x1+y3*y3-y1*y1)-(x3-x1)*(x2*x2-x1*x1+y2*y2-y1*y1))/(2*(y3-y1)*(x2-x1)-2*((y2-y1)*(x3-x1)));

return t;
}

int Main(){
int kcase = 0;
while(~scanf("%lf%lf",&a.x,&a.y)){
scanf("%lf%lf",&b.x,&b.y);
scanf("%lf%lf",&c.x,&c.y);
scanf("%lf%lf",&p.x,&p.y);

r = solvepointR();
//        printf("R : %lf %lf\n",r.x,r.y);
double R = dis(r,a);

double pa = dis(p,a),pc = dis(p,c),pcir=fabs(dis(p,r)-R);
//        printf("%lf %lf %lf\n",pa,pc,pcir);
double ans = min(pa,pc);
if(mutli(r,c,p)*mutli(r,c,b)>=0 && mutli(r,a,p)*mutli(r,a,b)>=0)
ans = pcir;

if( (dis2(a,b)+dis2(b,c)-dis2(a,c))/(2*dis(a,b)*dis(b,c)) >=0 ){
if(mutli(r,c,p)*mutli(r,c,a)<0 || mutli(r,a,p)*mutli(r,a,c)<0){
//                puts("----");
ans = pcir;
}
}

printf("Case %d: %.3f\n",++kcase,ans);
}
return 0;
}