简单算术表达式求值

Refer：http://interactivepython.org/runestone/static/pythonds/BasicDS/InfixPrefixandPostfixExpressions.html

本文主要探讨简单的数学算术表达式求值算法的原理和实现。

1. 约束

本文只是探讨简单的算术表达式的求值算法，为了将主要精力放在算法思想的探讨和实现上，避免陷入对其他不是直接相关的细节的过多思考，所以提前做如下约束：

本文所讨论的算术表达式字符串中每个运算数、运算符之间都有空白符分隔开（方便后面用python字符串的split函数分割处理成列表）。

算术表达式中参与运算的运算数都为1位整数。

表达式中的运算符都为二元运算符（即一个运算符需要两个运算数），不会出现其他元的运算符（如一元运算符负号：’-‘）。

运算的中间结果和最终结果也都为整数，且都不会产生异常（如除数为0等）。

暂且只支持如下几种运算符：+ - * / ( )

2. 中缀表达式与后缀表达式

算术表达式，根据运算符和运算数的相对位置不同，可以分为三种：前缀表达式（prefix）、中缀表达式（infix）和后缀表达式（postfix），其中后缀表达式又称为逆波兰式，在本文中只讨论中缀和后缀表达式。

中缀表达式：就是我们平时常见的算术表达式，如’1 + 2 * 3’，’( 1 + 2 ) * 3’这样的运算符在运算数中间的表达式，中缀表达式的特点是符合人的理解习惯，并且可以加小括号改变运算的先后顺序。但缺点是如果用编程来求值的话比较困难。

后缀表达式：是将中缀表达式进行变换后得到的表达式，如’1 2 3 * +’，’1 2 + 3 *’这样的运算符在运算数后面的表达式，后缀表达式的特点是虽然不符合人的理解习惯，但编程来求值却很方便，且没有括号的烦恼。

后缀表达式因为不需要括号，所以编程求值起来比较方便，下面将先从如何对后缀表达式求值讲起。

3. 后缀表达式求值

1. 核心算法：

（1） 创建一个空栈，名为numstack，用于存放运算数。

（2） 用python字符串的split函数将输入的后缀表达式（postfix）分割为列表，将该列表记为input。

（3） 从左到右遍历input的每一个元素token：

3.1：若token为运算数，将其转换为整数并push进numstack；

3.2：若token为运算符，则将numstack pop两次，将第一次pop得到的数作为运算符的右操作数，将第二次pop得到的数作为运算符的左操作数，然后求出运算结果，并将结果push进numstack；

（4）遍历完input后，numstack仅剩下一个元素，这就是表达式的最终求值结果，pop出这个元素，算法结束。

2. 举例

比如求’4 5 6 * +’这样一个后缀表达式的值（注：其前缀表达式为：’4 + 5 * 6’，值为34），按照上述算法，过程如下：

No.	operator	numstack
1		4
2		4 5
3		4 5 6
4	*	4 5 6
5		4 30
6	+	4 30
7		34

所以最终的表达式求值结果为：34

3. 代码实现

# 准备工作：创建一个栈类
class Stack():
def __init__(self):
self.data = []

def __str__(self):
return str(self.data)

__repr__ = __str__

def pop(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data.pop()
return None

def push(self,e):
self.data.append(e)

def clear(self):
del self.data[:]

# 获取栈顶元素，但不弹出此元素
def peek(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data[-1]
return None

# 判断栈是否为空
def empty(self):
return len(self.data) == 0

# 求值函数
def get_value(num1,op,num2):
if op == '+':
return num1 + num2
elif op == '-':
return num1 - num2
elif op == '*':
return num1 * num2
elif op == '/':
return num1 / num2
else:
raise ValueError('invalid operator!')

# 后缀表达式求值函数
def get_postfix_value(postfix):
# 1. 创建一个运算数栈
numstack = Stack()

# 2. 分割postfix
inPut = postfix.strip().split()  # 注：因为'input'是内置函数名，所以用'inPut';strip函数的作用是去掉字符串的开始和结尾的空白字符

# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 如果token为运算数
if token.isdigit():
numstack.push(int(token))
# 3.2 如果token是运算符
else:
num2 = numstack.pop()
num1 = numstack.pop()
numstack.push(get_value(num1,token,num2))

# 4. 输出numstack的最后一个元素
return numstack.pop()

# 后缀表达式
# 注：对应的中缀表达式为：(1+2)*(3+4)，运算结果为：21
postfix = '1 2 + 3 4 + *'

print '【Output】'
print get_postfix_value(postfix)

【Output】
21

4. 中缀表达式转后缀表达式

1. 核心算法

（1）创建一个空栈opstack，用于存放运算符，创建一个空列表output用于保存输出结果。

（2）使用python字符串的split函数将输入的中缀表达式（infix）字符串分割成列表并存入input列表中。

（3）从左到右遍历input列表的每个元素token：

3.1：若token是运算数，直接append到output中；

3.2：若token是运算符，先判断它与opstack栈顶元素的运算优先级（注：小括号的优先级约定为最低），若：token的优先级小于等于栈顶元素优先级，则先从opstack中pop出栈顶元素并append到output，再将token push进opstack；否则直接将token push进opstack；

3.3：若token是左括号，直接将其push进opstack；

3.4：若token是右括号，依次pop出opstack中的元素并依次append到output，直到遇到左括号，将左括号继续pop出（但不append到output）。

（4）当遍历完成input，将opstack中所有的剩余元素pop出并依次append到output。

（5）将output转换为字符串，即为最终求得的后缀表达式。

2. 举例

比如将’(A+B)*C’这样一个中缀表达式转换为后缀表达式（其中A,B,C表示整数），按照上述算法，转换过程如下：

No.	opstack	output
1	(
2	(	A
3	(+	A
4	(+	A B
5		A B +
6	*	A B +
7	*	A B + C
8		A B + C *

所以最终求得的后缀表达式为：’A B + C *’

3. 代码实现

# 准备工作：创建一个栈类
class Stack():
def __init__(self):
self.data = []

def __str__(self):
return str(self.data)

__repr__ = __str__

def pop(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data.pop()
return None

def push(self,e):
self.data.append(e)

def clear(self):
del self.data[:]

# 获取栈顶元素，但不弹出此元素
def peek(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data[-1]
return None

# 判断栈是否为空
def empty(self):
return len(self.data) == 0

# 求值函数
def get_value(num1,op,num2):
if op == '+':
return num1 + num2
elif op == '-':
return num1 - num2
elif op == '*':
return num1 * num2
elif op == '/':
return num1 / num2
else:
raise ValueError('invalid operator!')

# 将中缀表达式转换为后缀表达式的函数
def infix2postfix(infix):
# 1. 创建运算符栈和输出结果列表
opstack = Stack()
output = []

# 准备一个运算符优先级字典，其中左小括号的优先级最低
priority = {'(' : 0,'+' : 3,'-' : 3,'*' : 4,'/' : 4}

# 2. 分割infix
inPut = infix.strip().split()

# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 若token是运算数
if token.isdigit():
output.append(token)
# 3.2 若token是运算符
elif token in ['+','-','*','/']:
if not opstack.empty() and priority[token] <= priority[opstack.peek()]:
output.append(opstack.pop())
opstack.push(token)
# 3.3 若token是左括号
elif token == '(':
opstack.push(token)
# 3.4 若token是右括号
elif token == ')':
while opstack.peek() != '(':
output.append(opstack.pop())
# 弹出左括号
opstack.pop()
else:
raise ValueError('invalid token:{0}'.format(token))
# 4. 将opstack中剩余元素append到output
while not opstack.empty():
output.append(opstack.pop())

# 5. 将output转换为字符串（每个元素用空格隔开）并输出
return ' '.join(output)

infix = '( 1 + 2 ) * ( 3 + 4 )'

print '【Output】'
print infix2postfix(infix)

【Output】
1 2 + 3 4 + *

5. 整理：中缀表达式求值

1. 核心算法

经过前面的讨论，那么现在求中缀表达式的值就很简单了，分为两步：第1步，将中缀表达式转换为对应的后缀表达式；第2步，对后缀表达式求值。

2. 完整代码实现

# 准备工作：创建一个栈类
class Stack():
def __init__(self):
self.data = []

def __str__(self):
return str(self.data)

__repr__ = __str__

def pop(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data.pop()
return None

def push(self,e):
self.data.append(e)

def clear(self):
del self.data[:]

# 获取栈顶元素，但不弹出此元素
def peek(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data[-1]
return None

# 判断栈是否为空
def empty(self):
return len(self.data) == 0

# 求值函数
def get_value(num1,op,num2):
if op == '+':
return num1 + num2
elif op == '-':
return num1 - num2
elif op == '*':
return num1 * num2
elif op == '/':
return num1 / num2
else:
raise ValueError('invalid operator!')

# 将中缀表达式转换为后缀表达式的函数
def infix2postfix(infix):
# 1. 创建运算符栈和输出结果列表
opstack = Stack()
output = []

# 准备一个运算符优先级字典，其中左小括号的优先级最低
priority = {'(' : 0,'+' : 3,'-' : 3,'*' : 4,'/' : 4}

# 2. 分割infix
inPut = infix.strip().split()

# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 若token是运算数
if token.isdigit():
output.append(token)
# 3.2 若token是运算符
elif token in ['+','-','*','/']:
if not opstack.empty() and priority[token] <= priority[opstack.peek()]:
output.append(opstack.pop())
opstack.push(token)
# 3.3 若token是左括号
elif token == '(':
opstack.push(token)
# 3.4 若token是右括号
elif token == ')':
while opstack.peek() != '(':
output.append(opstack.pop())
# 弹出左括号
opstack.pop()
else:
raise ValueError('invalid token:{0}'.format(token))
# 4. 将opstack中剩余元素append到output
while not opstack.empty():
output.append(opstack.pop())

# 5. 将output转换为字符串（每个元素用空格隔开）并输出
return ' '.join(output)

# 后缀表达式求值函数
def get_postfix_value(postfix):
# 1. 创建一个运算数栈
numstack = Stack()

# 2. 分割postfix
inPut = postfix.strip().split()  # 注：因为'input'是内置函数名，所以用'inPut';strip函数的作用是去掉字符串的开始和结尾的空白字符

# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 如果token为运算数
if token.isdigit():
numstack.push(int(token))
# 3.2 如果token是运算符
else:
num2 = numstack.pop()
num1 = numstack.pop()
numstack.push(get_value(num1,token,num2))

# 4. 输出numstack的最后一个元素
return numstack.pop()

# 中缀表达式求值函数
def get_infix_value(infix):
postfix = infix2postfix(infix)
return get_postfix_value(postfix)

infix = '( 1 + 2 ) * ( 3 + 4 )'

print '【Output】'
print get_infix_value(infix)

【Output】
21