半闲居士视觉SLAM十四讲笔记(3)三维空间刚体运动 - part 1 旋转矩阵
2017-05-02 17:41
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作者:宋洋鹏(youngpan1101)
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点:在几何学上点是 没有大小而只有位置,即点存在于三维空间中的某一个位置。
向量: 可以形象化地表示为 带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。
(请勿将 向量 与它的 坐标 两个概念混淆,只有确定向量所在的坐标系,才能讨论它在该坐标系下的坐标)
定义坐标系后,也就是一个线性空间的 基 (e1,e2,e3),向量 a 在该坐标系下的坐标为:
a=[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=a1e1+a2e2+a3e3(3.1)
左手坐标系 和 右手坐标系(更为常见)
向量的运算
加减法
内积(inner product): 可以描述向量间的投影关系
对于 a,b∈R3,内积可以表示为:
a⋅b=aTb=∑i=13aibi=|a||b|cos⟨a,b⟩(3.2)
外积,亦称叉乘(cross product)
对于 a,b∈R3,外积可以表示为:
a×b=∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣=⎡⎣⎢a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥b=a∧b(3.3)
式中 ∧ 为反对称符号(可以读作“上尖”),a∧ 表示向量 a 的 反对称矩阵。
外积可以表示向量的旋转:向量 a 到 b 的旋转向量 w 的方向就是 a×b 的方向
坐标系间的欧氏变换
对于同一个向量 p,它在世界坐标系下的坐标 pw 和在相机坐标系下的坐标 pc 是不同的,它们的变换关系由两坐标系间的变换矩阵 T 来描述。(如下图所示,下图来自视觉SLAM十四讲 图3-2)
欧氏变换 = 旋转 + 平移
旋转
设某个单位正交基 (e1,e2,e3) 经过一次旋转变成 (e′1,e′2,e′3)。对于同一个向量 a(该向量不会因坐标系的旋转而发生运动),它在两个坐标系下的坐标分别为 [a1,a2,a3]T 和 [a′1,a′2,a′3]T,两坐标点满足:
[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=[e′1,e′2,e′3]⎡⎣⎢a′1a′2a′3⎤⎦⎥(3.4)
式 (3.4) 左右两边同时左乘 ⎡⎣⎢⎢eT1eT2eT3⎤⎦⎥⎥,得
⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢eT1e′1eT2e′1eT3e′1eT1e′2eT2e′2eT3e′2eT1e′3eT2e′3eT3e′3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢a′1a′2a′3⎤⎦⎥=Ra′(3.5)
式 (3.5) 中的旋转矩阵 R 的特殊性质:
旋转矩阵是行列式为 1 的正交矩阵
旋转矩阵的逆为自身转置,逆矩阵 RT 表示一个相反的旋转
旋转矩阵的集合定义为:
SO(n)={R∈Rn×n|RRT=I,det(R)=1}(3.6)
SO(n) 是特殊正交群(Special Orthogonal Group),SO(3) 就是由三维空间的旋转矩阵组成。
平移
向量 a 经过一次旋转 R 和一次平移 t 后,得到 a′ :
a′=Ra+t(3.7)
所以,两个坐标系的刚体运动可以由 R 和 t 完全描述。
变换矩阵与齐次坐标
欧氏变换多次之后的变换矩阵表示过于复杂,引入齐次坐标和变换矩阵重写式 (3.7):
[a′1]=[R0Tt1][a1]=T[a1](3.8)
式 (3.8) 中的 T 称为变换矩阵,这种矩阵又称为特殊欧式群(Special Euclidean Group):
SE(3)={T=[R0Tt1]∈R4×4|R∈SO(3),t∈R3}(3.9)
与 SO(3) 一样,该矩阵的逆表示一个反向的变换:
T−1=[R0T−RTt1](3.10)
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三维空间的刚体运动描述方式
1. 旋转矩阵
点和向量,坐标系点:在几何学上点是 没有大小而只有位置,即点存在于三维空间中的某一个位置。
向量: 可以形象化地表示为 带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。
(请勿将 向量 与它的 坐标 两个概念混淆,只有确定向量所在的坐标系,才能讨论它在该坐标系下的坐标)
定义坐标系后,也就是一个线性空间的 基 (e1,e2,e3),向量 a 在该坐标系下的坐标为:
a=[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=a1e1+a2e2+a3e3(3.1)
左手坐标系 和 右手坐标系(更为常见)
向量的运算
加减法
内积(inner product): 可以描述向量间的投影关系
对于 a,b∈R3,内积可以表示为:
a⋅b=aTb=∑i=13aibi=|a||b|cos⟨a,b⟩(3.2)
外积,亦称叉乘(cross product)
对于 a,b∈R3,外积可以表示为:
a×b=∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣=⎡⎣⎢a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥b=a∧b(3.3)
式中 ∧ 为反对称符号(可以读作“上尖”),a∧ 表示向量 a 的 反对称矩阵。
外积可以表示向量的旋转:向量 a 到 b 的旋转向量 w 的方向就是 a×b 的方向
坐标系间的欧氏变换
对于同一个向量 p,它在世界坐标系下的坐标 pw 和在相机坐标系下的坐标 pc 是不同的,它们的变换关系由两坐标系间的变换矩阵 T 来描述。(如下图所示,下图来自视觉SLAM十四讲 图3-2)
欧氏变换 = 旋转 + 平移
旋转
设某个单位正交基 (e1,e2,e3) 经过一次旋转变成 (e′1,e′2,e′3)。对于同一个向量 a(该向量不会因坐标系的旋转而发生运动),它在两个坐标系下的坐标分别为 [a1,a2,a3]T 和 [a′1,a′2,a′3]T,两坐标点满足:
[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=[e′1,e′2,e′3]⎡⎣⎢a′1a′2a′3⎤⎦⎥(3.4)
式 (3.4) 左右两边同时左乘 ⎡⎣⎢⎢eT1eT2eT3⎤⎦⎥⎥,得
⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢eT1e′1eT2e′1eT3e′1eT1e′2eT2e′2eT3e′2eT1e′3eT2e′3eT3e′3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢a′1a′2a′3⎤⎦⎥=Ra′(3.5)
式 (3.5) 中的旋转矩阵 R 的特殊性质:
旋转矩阵是行列式为 1 的正交矩阵
旋转矩阵的逆为自身转置,逆矩阵 RT 表示一个相反的旋转
旋转矩阵的集合定义为:
SO(n)={R∈Rn×n|RRT=I,det(R)=1}(3.6)
SO(n) 是特殊正交群(Special Orthogonal Group),SO(3) 就是由三维空间的旋转矩阵组成。
平移
向量 a 经过一次旋转 R 和一次平移 t 后,得到 a′ :
a′=Ra+t(3.7)
所以,两个坐标系的刚体运动可以由 R 和 t 完全描述。
变换矩阵与齐次坐标
欧氏变换多次之后的变换矩阵表示过于复杂,引入齐次坐标和变换矩阵重写式 (3.7):
[a′1]=[R0Tt1][a1]=T[a1](3.8)
式 (3.8) 中的 T 称为变换矩阵,这种矩阵又称为特殊欧式群(Special Euclidean Group):
SE(3)={T=[R0Tt1]∈R4×4|R∈SO(3),t∈R3}(3.9)
与 SO(3) 一样,该矩阵的逆表示一个反向的变换:
T−1=[R0T−RTt1](3.10)
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