leetcode 121 122 123 . Best Time to Buy and Sell Stock

121题目描述：

解题:记录浏览过的天中最低的价格，并不断更新可能的最大收益，只允许买卖一次的动态规划思想。

class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {

if(prices.size() == 0)
return 0;

int min_prices = prices[0];
int max_profit = 0;

for(int i = 1 ; i < prices.size(); i++ ){
if( prices[i] < min_prices)
min_prices = prices[i];
else{
max_profit = (prices[i] - min_prices) > max_profit ? prices[i] - min_prices : max_profit;
}
}
return max_profit;
}
};

122 可以重复的进行买入卖出，但是卖出时间必须在买入时间之后

思路： 划分最小的时间粒度进行买卖，即相邻两天，相邻两天只要买入卖出有收益则进行买卖，否则不进行买卖　

class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int max_profit = 0;
for(int i = 1 ; i < prices.size() ; i++){
max_profit += prices[i] - prices[i-1] > 0 ? prices[i] -prices[i-1] : 0;
}
return max_profit;

}
};

 123 最多进行两次买卖后的最大收益

以第i天对n个时间进行划分两半 分别计算两部分的最大收益  再进行加和 但是时间复杂度为 O(n2) 超时！！！！

public class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int ans = 0;
for(int m = 0; m<prices.length; m++){
int tmp = maxProfitOnce(prices, 0, m) + maxProfitOnce(prices, m, prices.length-1);
if(tmp > ans) ans = tmp;
}
return ans;
}

public int maxProfitOnce(int[] prices,int start, int end){
if(start >= end) return 0;
int low = prices[start];
int ans = 0;
for(int i=start+1; i<=end; i++){
if(prices[i] < low) low = prices[start];
else if(prices[i] - low > ans) ans = prices[i] - low;
}
return ans;
}

}

　利用网上动态规划的思想来做

　　我们定义local[i][j]为在到达第i天时最多可进行j次交易并且最后一次交易在最后一天卖出的最大利润，此为局部最优。然后我们定义global[i][j]为在到达第i天时最多可进行j次交易的最大利润，此为全局最优。它们的递推式为： 维护了两个递推变量

　　　　local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff)   局部最优中的local[i-1][j] + diff 可以看为在第i-1天卖出后又买入在第i天又卖出的操作，所有和总的买卖次数还是j次，所以diff无论正负都得加入。

　　　　global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])，

　　其中局部最优值是比较前一天并少交易一次的全局最优加上大于0的差值，和前一天的局部最优加上差值中取较大值，而全局最优比较局部最优和前一天的全局最优。

class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int> &prices) {
if (prices.empty()) return 0;
int n = prices.size(), g
[3] = {0}, l
[3] = {0};
for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
int diff = prices[i] - prices[i - 1];
for (int j = 1; j <= 2; ++j) {
l[i][j] = max(g[i - 1][j - 1] + max(diff, 0), l[i - 1][j] + diff);
g[i][j] = max(l[i][j], g[i - 1][j]);
}
}
return g[n - 1][2];
}
};