简单分析线性回归中的梯度下降

对于回归问题，我们的目标是要找到一个模型，或者说hypothesis，使之能够：对于我们一个输入，能够返回我们预期的结果。也就是说，假设在我们的数据集和结论集之间存在一个完美的对应关系f使得所有数据集都能正确得出结果，那我们的模型h应该与f之间的差距尽可能的小。

所以，我们靠瞎猜来蒙到这个h肯定是不现实的。我们这时候就会想，虽然我们一开始的模型不怎么贴合f，那么能不能根据已知数据集，一点一点地修正它（具体表现就是f中有很多参数，一步一步修正这些参数，使得它更贴合f），以此达到目的？

对于线性回归问题。

假设变量是线性相关（即都是一维的）

xi代表特征/输入变量

y代表输出/目标变量

m代表训练样本的数量

n代表特征数

则 假设函数

h(X)=θ0+θ1x1+θ2x2+.....+θnxn

我们定义如下式子（实际上就是很普通的最小二乘）。

J(θ)=∑i=0m(hθ(x(i))−y(i))2

这里区别一下，

xi表示h(X)中的第i个变量，x(i)代表第i个样本

这个式子反映了所有的样本通过h的映射之后与真实结果之间的差距（这里的差距指的是欧氏距离，实际上还有很多不同的反应距离的方法，例如曼哈顿距离和余弦距离balabala，先不讨论），用来判定我们的模型是好还是坏，很明显，这个式子的值越大，说明结果越烂。

要调整θ使此式尽可能的小，即与实际偏差越来越小。

实际上，这个函数叫做loss函数，损失函数或代价函数。因为它反映了模型得出的结果和真实的结果之间的差距。Loss函数应具有这样的特征：①它是凸函数，可以简单理解为边缘任意两点连接，之间的线段一定全在函数围成的形状内。这个性质保证了梯度下降之后可以达到全局最优解。②它处处可导，不然就不论什么梯度下降了。③模型得出的结果与真实结果偏差越大，loss函数值就越大，也就是说：损失越大。

给他取个名字叫J，自变量是θ（粗体代表向量），也就是那些参数。

所谓梯度下降，就是一种找到使j最小的方法。



想像站在一座这样的山峰上，十字位置，此时要想最快下山，就要找到最陡峭的方向走一小步，然后再走一小步。通常，十字位置就是零向量（初始点）

梯度下降中，是通过对每个θ，计算

θi:=θi−α∂J(θ)∂θi

此式中:=是赋值，α表示学习强度（迈步的距离）学习时，会随着离最小值点越近，步子越小，此时不是α变了，而是偏导变小了

实际上

∂J(θ)∂θi=∑i=0m(h(x(i))−y(i))xi

所以此式又可以化成

θi:=θi−α∑i=0m(h(x(i))−y(i))x(i)

这种算法也叫批梯度下降法，优点是准确，缺点是对每个θi都要计算所有的样本

这样计算负载很大

另一种思路被称为随机梯度下降法,不是每次都用所有的样本去计算损失函数，而是每次更新都只使用一个样本

θi:=θi−α(h(x(i))−y(i))x(i)

缺点也很明显，就是随机性大难以收敛，因为，万一有一个样本很鬼畜，就会拉远数据

所以批梯度下降是平滑地走向最低点，随机梯度下降是一会上一会下但是总体处于下降。