DP经典应用（二）最长递增子序列问题

最长递增子序列问题

问题描述：有一个数组长为n，请求出这个序列中最长的递增子序列的长度。（ 递增子序列：对于任意的i < j 都满足ai < aj的子序列 ）

样例输入：

5

4 2 3 1 5

样例输出：

3

分析：

按照解决动态规划的前3个步骤我们进行分析：

1.刻画一个最优解的结构特征：

定义dp[i]为以ai为末尾元素的最长递增子序列的长度。

比如根据样例输入，dp[0]=1。

2.递归地定义最优解的值：

以ai为末尾元素的子序列是：

1.只包含ai的子序列

2.如果满足j < i 并且 aj < ai这个条件的以aj为末尾的子序列末尾再加上ai后得到的新子序列。这两者之一。

所以得到此递推式：

dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1) (j < i 且 aj < ai)

3.计算最优解的值，采用自底向上的递推法。

则代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10000+10;
int dp[maxn];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
char a[maxn];
scanf("%s",a);
for(int i=0;i<strlen(a);i++)
{
dp[i] = 1;
for(int j=0;j<=i;j++)
{
if(a[j]<a[i])
{
dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
}
int max=0;
for(int i=0;i<strlen(a);i++)
{
if(max<dp[i])
max = dp[i];
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}

注：这个经典问题经常被设计改编成其他题目，比如导弹发射高度问题，它是求最最长递减子序列问题，并没有什么区别，只是判断条件换了一下而已。

所以掌握此问题是非常重要的。