【BZOJ2818】Gcd（莫比乌斯反演，欧拉函数）

题意：给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对

1<=N<=10^7

思路：莫比乌斯反演，同BZOJ2820……

1 const max=10000000;
2 var sum:array[0..max]of int64;
3     prime,flag,f,mu:array[0..max]of longint;
4     n,m,i,j,t,v,cas:longint;
5
6 function clac(n:longint):int64;
7 var x,i,pos:longint;
8 begin
9  clac:=0; i:=1;
10  while i<=n do
11  begin
12   x:=n div i;
13   pos:=n div x;
14   clac:=clac+(sum[pos]-sum[i-1])*x*x;
15   i:=pos+1;
16  end;
17 end;
18
19 begin
20
21  mu[1]:=1;
22  for i:=2 to max do
23  begin
24   if flag[i]=0 then
25   begin
26    inc(m); prime[m]:=i;
27    mu[i]:=-1;
28   end;
29   j:=1;
30   while (j<=m)and(prime[j]*i<=max) do
31   begin
32    t:=prime[j]*i; flag[t]:=1;
33    if i mod prime[j]=0 then
34    begin
35     mu[t]:=0; break;
36    end;
37    mu[t]:=-mu[i];
38    inc(j);
39   end;
40  end;
41  for i:=1 to m do
42   for j:=1 to max div prime[i] do
43   begin
44    t:=prime[i]*j;
45    f[t]:=f[t]+mu[j];
46   end;
47  for i:=1 to max do sum[i]:=sum[i-1]+f[i];
48  read(n);
49  writeln(clac(n));
50
51 end.

惊奇地发现，自己两年前用欧拉函数的方法过掉了此题……

From hzwer

枚举每个素数，然后每个素数p对于答案的贡献就是（1 ~ n / p） 中有序互质对的个数
而求1~m中有序互质对x，y的个数，可以令y >= x, 当y = x时，有且只有y = x = 1互质，当y > x时，确定y以后符合条件的个数x就是phiy
所以有序互质对的个数为（1 ~ n/p）的欧拉函数之和乘2减1（要求的是有序互质对，乘2以后减去（1， 1）多算的一次）
那么就只需要先筛出欧拉函数再求个前缀和就可以了

1 var b,prime,phi:array[1..10000000]of longint;
2     s:array[0..10000000]of int64;
3     ans:int64;
4     i,j,m,n:longint;
5
6 begin
7
8  readln(n);
9  b[1]:=1; phi[1]:=1;
10  for i:=2 to n do
11  begin
12   if b[i]=0 then
13   begin
14    inc(m); prime[m]:=i; phi[i]:=i-1;
15   end;
16   for j:=1 to m do
17   begin
18    if i*prime[j]>n then break;
19    b[i*prime[j]]:=1;
20    if i mod prime[j]=0 then
21    begin
22     phi[i*prime[j]]:=phi[i]*prime[j];
23     break;
24    end
25     else phi[i*prime[j]]:=phi[i]*(prime[j]-1);
26
27   end;
28  end;
29
30  for i:=1 to n do s[i]:=s[i-1]+phi[i];
31  for i:=1 to m do ans:=ans+s[n div prime[i]]*2-1;
32  writeln(ans);
33
34 end.