理解Fourier变换,Laplace变换和Z变换的几个基本点
2017-04-01 09:13
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最近学习数字信号处理,重新复习了一下高数, 摘录几个基本要点以备忘:
0. 一切平面域的函数均可以转换到圆周域上, 深刻理解自然界的圆.
1. 一切源于cosθ和sinθ的正交性, 即cos(m*θ)*sin(n*θ) 在周期内积分,仅当m=n时为非零。
2. 只有cosθ和sinθ同时表达才能唯一确定θ的值, 复数cosθ+isinθ自然产生。
3. 欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ 简化了复数的表达和运算.
4. 任何具有周期波动特性(非周期可以看成无限周期的特例) 的函数均可以由 e^(at) 和 e^(iθt) 两个基本函数拟合。
5. Fourier的实质是用利用cosθ和sinθ的正交性在频域上进行周期内积分, 梳出对应频率上的幅数和相位。
6. 考虑到Fourier变换的可积条件,Laplace用e^(at)对原e^(iwt)变量进行贴补,反映了贴补后变量s=ae^(iθ)对Fourier变换的影响,
7. 从振动物理模型上理解, s=ae^(iθ)实际上是响应函数的一般形式,即线性微分方程的一般解形式。
8. 一般形式的常系数微分方程( 信号与系统 -Oppenheim):
两边应用Laplace变换,应用线性和微分性质可得:
即:
9. 线 性时不变系统常系数差分方程一般形式:
两边应用z变换,并应用线性和时移特性可得:
即
10. Z变换是Laplace变换的离散形式, Z变换将差分方程常系数和系统函数联系了起来。
11. 通过对函数拟合或模拟公式得到的h(x)进行Z变换, 最终可以解得差分方程的系数, IIR和LIR等滤波差分方程可以由此实现.
0. 一切平面域的函数均可以转换到圆周域上, 深刻理解自然界的圆.
1. 一切源于cosθ和sinθ的正交性, 即cos(m*θ)*sin(n*θ) 在周期内积分,仅当m=n时为非零。
2. 只有cosθ和sinθ同时表达才能唯一确定θ的值, 复数cosθ+isinθ自然产生。
3. 欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ 简化了复数的表达和运算.
4. 任何具有周期波动特性(非周期可以看成无限周期的特例) 的函数均可以由 e^(at) 和 e^(iθt) 两个基本函数拟合。
5. Fourier的实质是用利用cosθ和sinθ的正交性在频域上进行周期内积分, 梳出对应频率上的幅数和相位。
6. 考虑到Fourier变换的可积条件,Laplace用e^(at)对原e^(iwt)变量进行贴补,反映了贴补后变量s=ae^(iθ)对Fourier变换的影响,
7. 从振动物理模型上理解, s=ae^(iθ)实际上是响应函数的一般形式,即线性微分方程的一般解形式。
8. 一般形式的常系数微分方程( 信号与系统 -Oppenheim):
两边应用Laplace变换,应用线性和微分性质可得:
即:
9. 线 性时不变系统常系数差分方程一般形式:
两边应用z变换,并应用线性和时移特性可得:
即
10. Z变换是Laplace变换的离散形式, Z变换将差分方程常系数和系统函数联系了起来。
11. 通过对函数拟合或模拟公式得到的h(x)进行Z变换, 最终可以解得差分方程的系数, IIR和LIR等滤波差分方程可以由此实现.
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