《算法分析与设计》Week 4

310. Minimum Height Trees

Description:

For a undirected graph with tree characteristics, we can choose any node as the root. The result graph is then a rooted tree. Among all possible rooted trees, those with minimum height are called minimum height trees (MHTs). Given such a graph, write a function
to find all the MHTs and return a list of their root labels.

Format

The graph contains 

n

 nodes which are labeled from 

0

 to 

n
- 1

. You will be given the number 

n

 and a list of undirected 

edges

 (each
edge is a pair of labels).

You can assume that no duplicate edges will appear in 

edges

. Since all edges are undirected, 

[0,
1]

 is the same as 

[1, 0]

 and thus will not appear together in 

edges

.

Example 1:

Given 

n = 4

, 

edges
= [[1, 0], [1, 2], [1, 3]]

0
|
1
/ \
2   3

return 

[1]

Example 2:

Given 

n = 6

, 

edges
= [[0, 3], [1, 3], [2, 3], [4, 3], [5, 4]]

0  1  2
\ | /
3
|
4
|
5

return 

[3, 4]

Solution:

一、题意理解
     给一个有树的特征的无向图，求以哪个节点（可能不只一个）为root，可以使得树的高度最小。

二、分析
     1、可以依次选取节点使用BFS广搜，求得每一个节点做root时树的高度，取其中的最小值，但时间复杂度明显很高，特别是递归做广搜的时候。
     2、讨论区有一个perfect的分析，这里必须要引用一下。
     3、首先我们看一些图的理论：
          （1）一棵树是一个任意两个点都只被一条路径连通的无向图。
          （2）任何有n个节点和n-1条边的连通图是一棵树。
          （3）图中节点的度数是与这个顶点相连的边的个数。
          （4）叶子节点的度数为1。内部节点的度数至少为2.
          （5）路径图是指有两个及以上的节点，并且没有分叉的树。
          （6）如果树中一个节点被指定为根，则这样的一棵树被称为有根树。
          （7）有根树的高度是从根到所有叶子节点的路径的最大值。
      4、回到这个问题上，我们的问题是找到有最小高度的树，并返回他们的根，首先我们可以考虑一个简单的例子----路径图，对于一个有n个节点的路径图，找到最小高度的树很简单------只需要将中间的节点设置为根即可。
      5、更一般地，假设我们不知道这个n，而且我们不能随机访问节点，那么我们就得去遍历。这样的话，我们可以从路径的两端开始，以相同的速度向中间移动。当他们相遇或者只差一步（n是奇数还是偶数的区别），我们就得到了想要的根节点。
      6、对于一棵无根树，我们可以做一些相似的事情。我们用指针从每一个叶节点开始，以相同的速度向内移动。当两个指针相遇时，保存其中的一个，直到最后两个指针相遇或者差一步，我们就找到了想要的根节点。
      7、很显然最后相遇的两个指针是图中来自相隔最远的两个叶节点。
      8、实际的实现有点类似BFS拓扑排序。删除叶节点，更新内部顶点的度数，然后删除新的叶节点。这样一层一层的做，直到只剩下2个或1个节点。
      9、空间复杂度和时间复杂度都是O(n)。代码如下：
class Solution {
public:
vector<int> findMinHeightTrees(int n, vector<pair<int, int>>& edges) {
vector<int> leaves;
// 只有一个节点，直接返回0
if(n == 1) {
leaves.push_back(0);
return leaves;
}
vector<int> res;
vector< unordered_set<int> > adj;

// 以邻接表的方式存储图
for(int i = 0; i < n; ++i) {
adj.push_back(unordered_set<int>());
}

// 读入数据，存储图
for(int i = 0; i < edges.size(); ++i) {
adj[edges[i].first].insert(edges[i].second);
adj[edges[i].second].insert(edges[i].first);
}

// 找到所有的叶子节点
for(int i = 0; i < n; ++i) {
if(1 == adj[i].size())
leaves.push_back(i);
}

// 循环操作
while(n > 2) {
n -= leaves.size(); // 删除叶子节点个数
vector<int> newleaves;
// 遍历叶子节点表
for(int i = 0; i < leaves.size(); ++i) {
// 叶子节点只会跟一个节点相连，所以取邻接表的size()必等于一，取第一个元素即可。
unordered_set<int>::iterator it = adj[ leaves[i] ].begin();
int j = *it;
adj[j].erase( leaves[i] ); // 更新与叶子节点相连的内部节点的邻接表
if( 1 == adj[j].size()) // 如果因此内部节点变为了叶子节点，则记录
newleaves.push_back(j);
}
leaves.swap(newleaves); // 更新叶子节点表
}

// 返回最后剩下的1个或2个叶子节点
return leaves;
}

};