算法分析之工作分配问题
2017-03-28 10:36
197 查看
ACM中的工作分配问题是一个典型的回溯问题,利用回溯思想能很准确地得到问题的解。下面就这个问题好好分析下。
问题描述:
设有n件工作分配给n个人。为第i个人分配工作j所需的费用为c[i][j] 。试设计一个算法,计算最佳工作分配方案,为每一个人都分配1 件不同的工作,并使总费用达到最小。
解题思路:
由于每个人都必须分配到工作,在这里可以建一个二维数组c[i][j],用以表示i号工人完成j号工作所需的费用。给定一个循环,从第1个工人开始循环分配工作,直到所有工人都分配到。为第i个工人分配工作时,再循环检查每个工作是否已被分配,没有则分配给i号工人,否则检查下一个工作。可以用一个一维数组x[j]来表示第j号工作是否被分配,未分配则x[j]=0,否则x[j]=1。利用回溯思想,在工人循环结束后回到上一工人,取消此次分配的工作,而去分配下一工作直到可以分配为止。这样,一直回溯到第1个工人后,就能得到所有的可行解。在检查工作分配时,其实就是判断取得可行解时的二维数组的一下标都不相同,二下标同样不相同。
样例分析:
给定3件工作,i号工人完成j号工作的费用如下:
10 2 3
2 3 4
3 4 5
假定一个变量count表示工作费用总和,初始为0,变量i表示第i号工人,初始为1。n表示总的工作量,这里是取3。c[i][j]表示i号工人完成j号工作的费用,x[j]表示j号工作是否被分配。算法如下:
那么在这里,用回溯法的思想就是,首先分配的工作是:
10:c[1][1] 3:c[2][2] 5:c[3][3] count=18;
此时,所有工人分配结束,然后回溯到第2个工人重新分配:
10:c[1][1] 4:c[2][3] 4:c[3][2] count=18;
第2个工人已经回溯到n,再回溯到第1个工人重新分配:
2:c[1][2] 2:c[2][1] 5:c[3][3] count=9;
回溯到第2个工人,重新分配:
2:c[1][2] 4:c[2][3] 3:c[3][1] count=9;
再次回溯到第1个工人,重新分配:
3:c[1][3] 2:c[2][1] 4:c[3][2] count=9;
回溯到第2个工人,重新分配:
3:c[1][3] 3:c[2][2] 3:c[3][1] count=9;
这样,就得到了所有的可行解。而我们是要得到最少的费用,即可行解中和最小的一个,故需要再定义一个全局变量cost表示最终的总费用,初始cost为c[i][i]之和,即对角线费用相加。在所有工人分配完工作时,比较count与cost的大小,如果count小于cost,证明在回溯时找到了一个最优解,此时就把count赋给cost。
到这里,整个算法差不多也快结束了,已经能得到最终结果了。但考虑到算法的复杂度,这里还有一个剪枝优化的工作可以做。就是在每次计算局部费用变量count的值时,如果判断count已经大于cost,就没必要再往下分配了,因为这时得到的解必然不是最优解。
问题描述:
设有n件工作分配给n个人。为第i个人分配工作j所需的费用为c[i][j] 。试设计一个算法,计算最佳工作分配方案,为每一个人都分配1 件不同的工作,并使总费用达到最小。
解题思路:
由于每个人都必须分配到工作,在这里可以建一个二维数组c[i][j],用以表示i号工人完成j号工作所需的费用。给定一个循环,从第1个工人开始循环分配工作,直到所有工人都分配到。为第i个工人分配工作时,再循环检查每个工作是否已被分配,没有则分配给i号工人,否则检查下一个工作。可以用一个一维数组x[j]来表示第j号工作是否被分配,未分配则x[j]=0,否则x[j]=1。利用回溯思想,在工人循环结束后回到上一工人,取消此次分配的工作,而去分配下一工作直到可以分配为止。这样,一直回溯到第1个工人后,就能得到所有的可行解。在检查工作分配时,其实就是判断取得可行解时的二维数组的一下标都不相同,二下标同样不相同。
样例分析:
给定3件工作,i号工人完成j号工作的费用如下:
10 2 3
2 3 4
3 4 5
假定一个变量count表示工作费用总和,初始为0,变量i表示第i号工人,初始为1。n表示总的工作量,这里是取3。c[i][j]表示i号工人完成j号工作的费用,x[j]表示j号工作是否被分配。算法如下:
void work(int i,int count){ if(i>n) return ; for(int j=1;j<=n;j++) if(x[j] == 0){ x[j] = 1; work(i+1,count+c[i][j]); x[j] = 0; } }
那么在这里,用回溯法的思想就是,首先分配的工作是:
10:c[1][1] 3:c[2][2] 5:c[3][3] count=18;
此时,所有工人分配结束,然后回溯到第2个工人重新分配:
10:c[1][1] 4:c[2][3] 4:c[3][2] count=18;
第2个工人已经回溯到n,再回溯到第1个工人重新分配:
2:c[1][2] 2:c[2][1] 5:c[3][3] count=9;
回溯到第2个工人,重新分配:
2:c[1][2] 4:c[2][3] 3:c[3][1] count=9;
再次回溯到第1个工人,重新分配:
3:c[1][3] 2:c[2][1] 4:c[3][2] count=9;
回溯到第2个工人,重新分配:
3:c[1][3] 3:c[2][2] 3:c[3][1] count=9;
这样,就得到了所有的可行解。而我们是要得到最少的费用,即可行解中和最小的一个,故需要再定义一个全局变量cost表示最终的总费用,初始cost为c[i][i]之和,即对角线费用相加。在所有工人分配完工作时,比较count与cost的大小,如果count小于cost,证明在回溯时找到了一个最优解,此时就把count赋给cost。
到这里,整个算法差不多也快结束了,已经能得到最终结果了。但考虑到算法的复杂度,这里还有一个剪枝优化的工作可以做。就是在每次计算局部费用变量count的值时,如果判断count已经大于cost,就没必要再往下分配了,因为这时得到的解必然不是最优解。
#include<iostream> using namespace std; int n,cost=0; int x[100],c[100][100]; void work(int i,int count){ if(i>n && count<cost){ cost = count; return ; } if(count<cost) for(int j=1;j<=n;j++) if(x[j] == 0){ x[j] = 1; work(i+1,count+c[i][j]); x[j] = 0; } } int main(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ cin>>c[i][j]; x[j] = 0; } cost+=c[i][i]; } work(1,0); cout<<cost<<endl; system("pause"); return 0; }
相关文章推荐
- 〖編程·C++〗回溯算法:排列树 - 工作分配问题
- ACM典例分析之工作分配问题
- 分析邹健大哥的算法,终于问题解决了!!!(关于统计两日期间工作日)
- 分治法编程问题之最接近点对问题的算法分析
- 【百度分享】频繁分配释放内存导致的性能问题的分析
- 频繁分配释放内存导致的性能问题的分析
- 球问题算法分析
- 公交车换乘问题的算法分析小探
- 算法导论5.4 概率分析和指示器随机变量的进一步使用--几个有趣的问题
- IP address 分配异常慢问题分析 推荐
- 频繁分配释放内存导致的性能问题的分析
- 分治法编程问题之最接近点对问题的算法分析
- 应用分枝限界解决工作分配问题
- 一类螺旋方阵问题的算法分析与实现
- 最近点对问题的分治算法分析与实现
- 最接近点对问题的算法分析 (转帖)
- 国际象棋“皇后”问题的回溯算法[C#源码分析]
- 基于WEB服务器导致消息中心各组件之间无法正常工作的问题分析与解决
- 百度分享]频繁分配释放内存导致的性能问题的分析
- 【百度分享】频繁分配释放内存导致的性能问题的分析