最近公共祖先（LCA）问题-在线ST算法

LCA算法详解

1. 概述

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指这样一个问题：在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先（另一种说法，离树根最远的公共祖先）。对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法也许会存在问题。

2. 在线ST算法

解决此问题存在两种经典的算法，一种是在线ST算法，另外一种是离线的Tarjan算法，

所谓在线算法是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询，该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。

所谓离线算法，是指首先读入所有的询问（求一次LCA叫做一次询问），然后重新组织查询处理顺序以便得到更高效的处理方法

在线算法DFS+ST描述：将树看成一个无向图，u和v的公共祖先一定在u与v之间的最短路径上

● DFS：从树的根节点T开始，深度遍历树，并记录下每次到达的顶点。第一个的结点是root(T)，每经过一条边都记录它的端点。由于每条边恰好经过2次，因此一共记录了2n-1个结点，用E[1, … , 2n-1]来表示。

● 计算R[]：用R[i]表示E数组中值为i的元素第一次出现的下标，即如果R[u] < R[v]时，DFS访问的顺序是E[R[u], R[u]+1, …, R[v]]。虽然其中包含u的后代，但深度最小的还是u与v的公共祖先。

● RMQ：当R[u] ≥ R[v]时，LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[v], R[u])；否则LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[u], R[v])，计算RMQ。

在线算法DFS+ST代码如下：

1.数据结构描述：

// 头结点信息
private Node heads[];
// 边信息
private Edge edges[];
// 深度遍历过程中每个节点第一次出现的序号
private int first[];
// 每个节点出现的深度
private int depth[];
// 深度遍历序列
private int travel[];
// 保存节点到根节点的距离
private int dir[];
// 访问记录矩阵
private boolean vis[];
private RMQ mRmq;

/**
* 邻接表头结点信息
*/
class Node {
private int sno;// 节点编号
private Edge firstEdge;
}

/**
* 邻接表边信息
*/
class Edge {
private int sno;
private int from;
private int to;
private int wight;
private Edge next;
}

1.算法步骤描述：

#####     1.根据输入的节点和权重信息建立邻接表
/**
* 无向图创建路径
*
* @param from
* @param to
* @param wight
*/
public void createEdge(int from, int to, int wight) {
addEdge(from, to, wight);
addEdge(to, from, wight);
}

/**
* 头插法创建邻接表
*
* @param from
* @param to
* @param wight
*/
private void addEdge(int from, int to, int wight) {
Edge edge = new Edge();
edge.from = from;
edge.to = to;
edge.wight = wight;
edge.sno = edgeNum;
edges[edgeNum++] = edge;
edge.next = heads[from].firstEdge;
heads[from].sno = from;
heads[from].firstEdge = edge;
}

#####     2.深度优先遍历，计算访问序列、深度信息、节点第一次出现的位置信息等

/**
* 深度遍历邻接表
*
* @param u
* @param dep
*/
public void travelInDepth(int u, int dep) {
vis[u] = true;
travel[++index] = u;
first[u] = index;
depth[index] = dep;
for (Edge edge = heads[u].firstEdge; edge != null; edge = edge.next) {
if (!vis[edge.to]) {
int v = edge.to;
dir[v] = dir[u] + edge.wight;
travelInDepth(v, dep + 1);
travel[++index] = u;
depth[index] = dep;
}
}
}

#####     3.根据输入的查询，回答结果
/**
* 回答节点的最近公共祖先节点
* @param u
* @param v
* @return
*/
public int getLCANode(int u, int v) {
if (mRmq == null) {
mRmq = new RMQ();
mRmq.RMQInit(depth);
}
u = first[u];
v = first[v];
if (u < v) {
return mRmq.getMax(u, v);
}
return mRmq.getMax(v, u);
}