树之二叉查找树（二叉搜索树）

目录

二叉查找树简介

二叉查找树举例以及详细分析

代码块

测试结果以及参考图纸

二叉查找树

二叉树的一个重要的应用是它们在查找中的使用。使二叉树成为查找树的性质是，对于树中的每个结点X，它的左子树中所有关键字值小于X的关键值，而它的右子树中所有关键字大于X的关键值。在图1中，左边的树是二叉查找树，但右边的树则不是（想一想为什么）。

二叉查找树举例以及详细分析

二叉查找树定义：又称为是二叉排序树（Binary Sort Tree）或二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

　　1) 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　2) 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；

　　3) 左、右子树也分别为二叉排序树；

　　4) 没有键值相等的节点。

　　二叉查找树的性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。

　　二叉查找树的时间复杂度：它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为O(logn)，但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是平衡查找树设计的初衷。

　　二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。

二叉查找树的插入过程如下
d517
：

　　1) 若当前的二叉查找树为空，则插入的元素为根节点;

　　2) 若插入的元素值小于根节点值，则将元素插入到左子树中;

　　3) 若插入的元素值不小于根节点值，则将元素插入到右子树中。

二叉查找树的删除，分三种情况进行处理：

(1) p为叶子节点，直接删除该节点，再修改其父节点的指针（注意分是根节点和不是根节点），如图a;



(2) p为单支节点（即只有左子树或右子树）。让p的子树与p的父亲节点相连，删除p即可（注意分是根节点和不是根节点），如图b;



(3) p的左子树和右子树均不空。找到p的后继y，因为y一定没有左子树，所以可以删除y，并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点，并用y的值代替p的值；或者方法二是找到p的前驱x，x一定没有右子树，所以可以删除x，并让x的父亲节点成为y的左子树的父亲节点。如图c。

代码块

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef int ElementType;
struct TreeNode;
typedef struct TreeNode *SearchTree;

typedef struct TreeNode
{
ElementType Element;
SearchTree Left;
SearchTree Right;
};

SearchTree MakeEmpty(SearchTree T);
SearchTree Find(ElementType X, SearchTree T);
SearchTree FindMin(SearchTree T);
SearchTree FindMax(SearchTree T);
SearchTree Insert(ElementType X, SearchTree T);
SearchTree Delete(ElementType X, SearchTree T);
ElementType Retrieve(SearchTree P);

void PrintElement(SearchTree T);
void PreOrder(SearchTree T);
void InOrder(SearchTree T);
void PostOrder(SearchTree T);

SearchTree
MakeEmpty(SearchTree T)
{
if (T != NULL)
{
MakeEmpty(T->Left);
MakeEmpty(T->Right);
free(T);
}
return NULL;
}

SearchTree
Find(ElementType X, SearchTree T)
{
if (T == NULL)
return NULL;
if (X < T->Element)
return Find(X, T->Left);
else
if (X > T->Element)
return Find(X, T->Right);
else
return T;
}

SearchTree FindMin(SearchTree T)
{
if (T == NULL)
{
return NULL;
}
else if (T->Left == NULL)
{
return T;
}
else
{
return FindMin(T->Left);
}
}

SearchTree FindMax(SearchTree T)
{
if (T != NULL)
{
while (T->Right != NULL)
{
T = T->Right;
}
}
return T;
}

SearchTree Insert(ElementType X, SearchTree T)
{
if (T == NULL)
{
//Creat and return a one-node tree
T = (SearchTree)malloc(sizeof(struct TreeNode));
if (T == NULL)
{
printf("Out of space!!!");
}
else
{
T->Element = X;
T->Left = T->Right = NULL;
}
}
else
{
if (X < T->Element)
{
T->Left = Insert(X, T->Left);
}
else if (X > T->Element)
{
T->Right = Insert(X, T->Right);
}
}
//Else X is in the tree and we will do nothing;

return T;//Do mot forget this line!!!
}

SearchTree Delete(ElementType X, SearchTree T)
{
SearchTree TmpCell;
if (T == NULL)
{
printf("Element not found");
}
else if(X < T->Element)
{
T->Left = Delete(X, T->Left);
}
else if (X > T->Element)
{
T->Right = Delete(X,T->Right);
}
//Found element to be deleted
else if (T->Left&&T->Right)//Two children
{
//如果找到了要删除的节点，并且节点的的左儿子和右儿子都在；
//选择右子树中值最大的节点赋给删除节点后的位置，并用递归删除右子树中最大的节点
TmpCell = FindMin(T->Right);
T->Element = TmpCell->Element;
T->Right = Delete(T->Element, T->Right);
}
else//One or zero children
{
//如果找到要删除的节点，并且节点只有一个左儿子或一个右儿子
TmpCell = T;
if(T->Left == NULL)
{
T = T->Right;//若只有右儿子，把右儿子赋到删除节点的位置上
}
else if (T->Right == NULL)
{
T = T->Left;//若只有左儿子，把左儿子赋到删除节点的位置上
}
free(TmpCell);//释放掉要删除的节点
}
return T;
}

ElementType Retrieve(SearchTree P)
{
return P->Element;
}

void PrintElement(SearchTree T)
{
printf("%3d", Retrieve(T));
}

void PreOrder(SearchTree T)
{
if (T != NULL)
{
PrintElement(T);
PreOrder(T->Left);
PreOrder(T->Right);
}
}

void InOrder(SearchTree T)
{
if (T != NULL)
{
InOrder(T->Left);
PrintElement(T);
InOrder(T->Right);
}
}

void PostOrder(SearchTree T)
{
if (T != NULL)
{
PostOrder(T->Left);
PostOrder(T->Right);
PrintElement(T);
}
}

int main(void)
{
SearchTree T = NULL;
int i, j, m, n, num1, num2;
ElementType tmp;
printf("Number of Elements:");
scanf("%d", &n);
for (i = 0; i < n; i++)
{
printf("Elements %d：", i + 1);
scanf("%d", &tmp);
T = Insert(tmp, T);
}

printf("\nPreOrder:");
PreOrder(T);
printf("\nInOrder:");
InOrder(T);
printf("\nPostOrder:");
PostOrder(T);
printf("\n");

printf("\nInput what num you want delete:");
scanf("%d", &num1);
Delete(num1, T);
printf("\nPreOrder:");
PreOrder(T);
printf("\n");

printf("\nInput what num you want insert:");
scanf("%d", &num2);
T = Insert(num2, T);
printf("\nPreOrder:");
PreOrder(T);
printf("\n");

system("pause");
return 0;

}

测试结果