二叉搜索树；二叉查找树；二叉排序树；Binary Search Tree

http://blog.csdn.net/jiqiren007/article/details/6534810

Binary Search Tree，中文翻译为二叉搜索树、二叉查找树或者二叉排序树。简称为BST
二叉搜索树是一种很基础的树，后续的AVL、红黑树等都是在此基础上增加了一些其他限制条件形成的。

1. 二叉搜索树的定义

定义与树的定义是类似的，也是一个递归的定义：

1、要么是一棵空树
2、如果不为空，那么其左子树节点的值都小于根节点的值；右子树节点的值都大于根节点的值

3、其左右子树也是二叉搜索树

在算法导论中的定义：





下图中是BST的两个例子：



其中(b)图中的树是很不平衡的（所谓不平衡是值左右子树的高度差比较大）

BST在数据结构中占有很重要的地位，一些高级树结构都是其的变种，例如AVL树、红黑树等，因此理解BST对于后续树结构的学习有很好的作用。同时利用BST可以进行排序，称为二叉排序，也是很重要的一种思想。

2. 二叉搜索树的操作定义

在BST中有下列操作：

1、在树中插入一个节点：insert(tree *root, datatype t)

2、在将树中的某个节点删除: remove(tree *root, datatype t);

3、查找树中值最大/小的节点：find_max(tree root) / find_min(tree root);

4、查找树中的某个节点：search_tree(tree root, datatype t);

当然作为二叉树，还有对BST的各种遍历，主要是中序遍历，对BST的中序遍历(In-Order Traversal)其实就是二叉搜索、二叉排序的实现。

上面的几个操作中最复杂的一个操作是删除树中的节点，后面会详细介绍。

3. BST的具体操作实现

typedef struct node_t
{
<span style="white-space:pre">	</span>datatype data;
<span style="white-space:pre">	</span>struct node_t *lchild, *rchild;
}node, *tree;

下面就根据BST的定义和各个操作的含义，实现BST的相应操作。

1、插入操作insert(tree *root, datatype t)

插入操作是在指定的BST中插入一个节点，该节点的数据域为t。同时插入节点后需要保证BST仍然满足二叉搜索树的定义

若二叉树为空，则首先单独生成根结点；若二叉树不为空，新插入的结点总是叶子结点。

插入操作的大概过程如下：

将root->data 与t进行比较，如果t < root->data，那么递归将t插入到root->lchild; 否则将t插入到root->rchild中。如果root是空的话，则新建一个节点。

void insert(tree *root, node *t)
{
if(*root == NULL)
{
<span style="white-space:pre">	</span>*root =t;
<span style="white-space:pre">	</span>return;
}
if(t->data < temp->data) //左子树
{
<span style="white-space:pre">	</span>insert(&((*root)->lchid), t);
}
else //插入到右子树
{
<span style="white-space:pre">	</span>insert(&((*root)->rchild), t);
}
}

上面是插入操作的一个简单实现，在图形化中的二叉搜索树的展示如下：



这里是插入节点13
从上面实现可以知道，插入操作的时间复杂度是O(lgn)，其中n是节点的个数，也就是时间复杂度是树的高度。当然在最坏情况下时间复杂度是O(n)。（当插入的数列已经排好序时，生成的二叉树及其不平衡，只有一个分支，而且深度为插入的个数）

2、二叉搜索树的删除操作

在介绍完二叉搜索树的插入操作后，下面介绍下二叉搜索树中最复杂的操作，删除节点操作remove(tree *root, datatype t).二叉搜索树的删除操作是相对要复杂的，这是因为删除操作有多种情况需要考虑，下面分别一一介绍：

假设要删除的节点是p，该节点的父节点是q，那么对p有下面的一些考察：

p和q的关系如下图所示：其中p的两个子节点用虚线表示，表示可能有也可能没有子节点；同时p也有可能是q的右孩子



针对上面的描述，可能有下面的几种情况需要考虑

a、如果p节点没有孩子节点，也就是说p节点是叶子节点，那么直接删除p对二叉搜索树是没有影响的，这样的情况下可以直接将q相应的子节点指针设置为空，然后free掉p

b、如果p的孩子节点有一个为空，例如左孩子为空或者右孩子为空。

对于这样的情况也可以分成两种讨论

if(p的左孩子为空)
{
if(p是q的左孩子)
{
q->左孩子 = p->右孩子：
}
if(p是q的右孩子)
{
q->右孩子 = p->右孩子
}
}

同理

if(p的右孩子为空)
{
if(p是q的左孩子)
{
q->左孩子 = p->左孩子
}
if(p是q的右孩子)
{
q->右孩子 = p->左孩子
}
}

上面是p的一个孩子为空

c、p的左右孩子都不为空，这是最复杂的一种情况

在这种情况下需要考虑的比较多，如果要删除p节点的话，需要找到p的后继者（p的后继者肯定比p大，但是比其他数都小；此时p的后继者肯定是p的右子树中最小的一个，因为p有右孩子），然后将其放在p的位置，这样才能保证维持BST的性质。因此这种情况下就可以先找到p节点的后继者，然后将其和p进行交换，然后将交换后的节点删除。

下图是《算法导论》中删除节点的三种情况描述：







其中z节点是要删除的节点。（c）中的y节点是z的后继者

对于p的左右孩子都不为空的伪代码如下：

node *successor; //指向p的后继者

successor = find_min(p->rchild); //找到p的后继者y

p->data = successor->data; //将后继者y的值copy到p的数据域中

successor->parent->lchild = successor->rchild;//这里successor一定是其父节点的左孩子，因为如果他是父节点的右孩子的话，那么p的后继者就不是successor了，而应该是successor的parent了，因为successor的parent比successor小。这是这条语句左边的原因；对于右边来说，因为successor是p的后继者，那么successor一定是没有左孩子的，如果有的话，p的后继者就不是successor了，而是successor的左孩子了，因此successor至多有一个右孩子。这是对这条语句的解释。

操作完后就可以将successor释放掉了。

这些基本就是二叉搜索树的操作了，比较复杂的是插入和删除操作。