数学专题总结

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扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法就是用来求解不定方程\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组特解的算法,它相比普通的欧几里得算法不仅能求出两个数之间的最大公约数,还能顺便解方程,相比普通的欧几里得算法要强一些.

代码如下:

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d){
if(!b){d=a; x=1; y=0; return;}
exgcd(b,a%b,y,x,d);
y-=(a/b)*x;
}

欧拉筛法筛素数

欧拉筛法相比普通的线性筛是要快一些的,它快的地方主要是每个素数只访问一次,能减少重复的次数,代码比起线性筛要稍微长那么一些.

代码如下

void make_prime(int n){
npr[0]=1;npr[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!npr[i])pr[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++){
npr[pr[j]*i]=1;             //欧拉函数的积性
if(i%pr[j]==0)break;
}
}
}

欧拉函数

欧拉函数是用来求在1-n中与n互质的数的个数的函数.函数具体为:

\(\varphi (n)=n(1-\frac { 1 }{ { p }_{ 1 } } )(1-\frac { 1 }{ { p }_{ 2 } } )...(1-\frac { 1 }{ { p }_{ k } } )\)

其中\(p1\)-\(pk\)都表示n的质因数.

并且欧拉函数是积性函数,即\(\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)\quad (a,b)=1\)

代码如下:

void phi_table(int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!phi[i]){
for(int j=i;j<=n;j+=i){
if(!phi[j])phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
}

逆元

这里的逆元我主要指的是模意义下的逆元.如果\(ax\equiv 1(mod\quad p)\),我们就称\(a\)对于\(p\)的逆元为\(x\),记作\({ a }^{ -1 }\),可以形象地认为它就是\(a\)在模意义下的倒数.求逆元可以用扩展欧几里得算法,不过我重点要介绍一种线性求逆元的方法.即在线性的时间内求出1-p-1的所有逆元,且p为质数.

我们可以设\(p=ki+r\)

那么显然有\(ki+r\equiv 0(mod\quad p)\)

我们两边同时乘上一个\({ i }^{ -1 }{ r }^{ -1 }\)

那么就有\(k{ r }^{ -1 }+{ i }^{ -1 }\equiv 0(mod\quad p)\)

那么我们移动一下位置就有\({ i }^{ -1 }\equiv -k{ r }^{ -1 }(mod\quad p)\)

最后转换一下\(k\)就有\({ i }^{ -1 }\equiv -\left\lfloor \frac { p }{ i } \right\rfloor { (p\quad mod\quad i) }^{ -1 }(mod\quad p)\),然后就可以啦.代码就不用我说了吧.

矩阵乘法

关于这个我不想多讲,直接看百度吧:矩阵乘法

代码如下:

#define REP(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)

matrix mul(matrix A,matrix B){
matrix ret;
memset(ret.mtx,0,sizeof ret.mtx);
REP(i,1,n)REP(j,1,n)REP(k,1,n)
ret.mtx[i][j]=(ret.mtx[i][j]+A.mtx[i][k]*B.mtx[k][j]);
return ret;
}

高斯消元

高斯消元是一个十分玄学的东西,但是也不是什么特别高深的东西,实际上就是在解一个线性方程组,也就是说将二元一次方程组扩展到n元一次方程组来求解.实际步骤和重复地加减消元没有太多差别.不过为了方便地表示,我们还是先来了解几个概念.

1.增广矩阵

我们可以先用矩阵的方法表示一个线性方程组,如图所示:

\(\begin{bmatrix} { a }_{ 1 } & { a }_{ 2 } & ... & { a }_{ n-1 } & { a }_{ n } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & ... & { b }_{ n-1 } & { b }_{ n } \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ { p }_{ 1 } & { p }_{ 2 } & ... & { p }_{ n-1 } & { p }_{ n } \\ { q }_{ 1 } & { q }_{ 2 } & { ... } & { q }_{ n-1 } & { q }_{ n } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ ... \\ { x }_{ n-1 } \\ { x }_{ n } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} { A }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } \\ ... \\ { A }_{ n-1 } \\ { A }_{ n } \end{bmatrix}\)

这是什么,这就是线性方程组用矩阵乘法的表现形式,但是我们还是有点嫌麻烦,于是我们在原有的矩阵基础上在开一维,就形成了增广矩阵,大概就是这个样子:

\(\begin{bmatrix} { a }_{ 1 } & { a }_{ 2 } & ... & { a }_{ n-1 } & { a }_{ n } & | & { A }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & ... & { b }_{ n-1 } & { b }_{ n } & | & { A }_{ 2 } \\ ... & ... & ... & ... & ... & | & ... \\ { p }_{ 1 } & { p }_{ 2 } & ... & { p }_{ n-1 } & { p }_{ n } & | & { A }_{ n-1 } \\ { q }_{ 1 } & { q }_{ 2 } & { ... } & { q }_{ n-1 } & { q }_{ n } & | & { A }_{ n } \end{bmatrix}\)

2.消元步骤

接下来就是高斯消元的核心步骤了,我们的目标就是让每一行都只保留一个系数,形成一个对角线的样子,就像这样:

\(\begin{bmatrix} { a }_{ 1 } & 0 & ... & 0 & 0 & | & { A }_{ 1 } \\ 0 & { b }_{ 2 } & ... & 0 & 0 & | & { A }_{ 2 } \\ ... & ... & ... & ... & ... & | & ... \\ 0 & 0 & ... & { p }_{ n-1 } & 0 & | & { A }_{ n-1 } \\ 0 & 0 & { ... } & 0 & { q }_{ n } & | & { A }_{ n } \end{bmatrix}\)

当然,这只是一种情况,还有其他的像"上三角形式"之类的我就不说了,应该也是可以变成这种样子的.对于这个方程组我们是可以一目了然地得到方程的解,那么具体来说我们怎么得到呢?我们看到第一列,由于第一列中只有第一行保留系数,那么我们可以强行消掉将除第一个方程以外所有的第一项系数,之后对于每一个方程都这么做一遍就可以了.

代码如下:

bool gauss(){
for(int i=0;i<n;i++){
int k=i;
for(int j=i+1;j<n;j++)
if(fabs(matrix[j][i])>fabs(matrix[k][i]))k=j;
if(fabs(now=matrix[k][i])<MIN)return true;
for(int j=i;j<=n;j++)swap(matrix[i][j],matrix[k][j]);
for(int j=i;j<=n;j++)matrix[i][j]/=now;
for(int k=0;k<n;k++){
if(k!=i){
now=matrix[k][i];
for(int j=i;j<=n;j++)matrix[k][j]-=matrix[i][j]*now;
}
}
}
return false;
}