【NOI2014模拟7.11】数学题

Description

Solution

这题是一道很奇妙的题目。

首先在共线或者夹角非常小的时候，答案是gcd(|X|,|Y|)，那么考虑一下，是否和gcd有关。

明显很难有关系，但是这种思想很重要类欧几里得算法，考虑把（X，Y）这个向量转化成（X’，Y’）这个向量。

首先需要的是边界条件。

我们可以知道在θ大于60°的时候，答案为min(|X|,|Y|)。

设X=（c,0）,Y=（e,f），设|X|≤|Y|

证明：|aX+bY|=(c+e)2+f2−−−−−−−−−−√=c2+e2+2ce+f2−−−−−−−−−−−−−−−√

=|aX|2+|bY|2+2cosθ|aX||bY|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

≥|aX|2+|bY|2−2cosθ|aX||bY|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

当2cosθ≤1的时候

≥|aX|2+|bY|2−|aX||bY|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

≥(|aX|−|bY|)2+|aX||bY|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

所以显然在|X|=0或|Y|=0答案只会≥|X|。

否则无论a，b取什么值（不能同时=0）|aX||bY|≥|X|

所以得证：边界是θ≥60°的时候，ans=|X|(如果|X|>|Y|那么交换)，就是前面的系数是(1,0)。

那么现在的关键就是要把角度不断的变大。

首先考虑如何正确的转化（X,Y）。

|aX+bY|=|aX−akY+bY+akY|=|a(X−kY)+(b+ak)Y|

就是说向量(X,Y)和向量(X-kY,Y)的答案是等价的，可以互相转化，但是系数不同，前者是(a,b)，后者是(a,b+ak)。

那么我们现在要考虑k=？的时候，角度可以变大。



设OC=kX，BE⊥OD，OD=(k+1)X，OA=X,OB=Y。

当E落在OA上的时候，此时显然有角OAB>角AOB，那么可以把（X,Y）转化成（Y,X）=>（Y-X,X）(k=1)及(OB-OA,OA)及(AB,OA)。此时是可以把角度变大的。

当E落在OA外的时候:

1、当|CE|>|ED|时就取较大的角ODB及转化为

（OA,OB）=>（OB,OA）=>(OB-(k+1)OA,OA)=>(DB,OA)

2、否则取较大的角DBC及转化为

（OA,OB）=>（OB,OA）=>(OB-kOA,OA)=>(CB,OA)

此时注意（a,b）系数转化完之后的变化。

其实不用特殊考虑E落在OA外的时候，第二种情况可以顺便考虑进去及（Y-(k+1)X,X）落在里面是k=0，及(Y-X,X)。

还要考虑的细节：

1、角度的判断用向量的点积。

2、当角度>90°时，及点积<0，此时（X,Y）转化为（X,-Y），对应的系数也要变成（a,-b）

3、求k的时候可以直接用点积整除以(X的模长的平方)

证明：

OE=|Y|cosθ，⌊OE|X|⌋=⌊|Y|cosθ|X|⌋=k

X=(x1,y1),Y=x2,y2

|X||Y|cosθ=x1x2+y1y2(点积)

所以|Y|cosθ=x1x2+y1y2|Y|

所以⌊x1x2+y1y2|X|2⌋=k

Code

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll i,j,k,l,t,n,m,ans,x,y,xx,yy,a,b;
ll sqr(ll x){return x*x;}
void leiou(ll &a,ll &b,ll x,ll y,ll xx,ll yy){
ll ji=x*xx+y*yy,amo=x*x+y*y,bmo=xx*xx+yy*yy;
if(ji<0){
leiou(a,b,x,y,-xx,-yy);
b=-b;
return;
}
if(amo>bmo){
leiou(b,a,xx,yy,x,y);
return;
}
if(ji*ji*4<amo*bmo|!amo){
a=1,b=0;
return;
}
ll k=ji/amo;
if(2*ji>(2*k+1)*amo){
leiou(a,b,x,y,xx-(k+1)*x,yy-(k+1)*y);
a-=(k+1)*b;
}
else{
leiou(a,b,x,y,xx-k*x,yy-k*y);
a-=k*b;
}
}
int main(){
//  freopen("math.in","r",stdin);
//  freopen("math.out","w",stdout);
freopen("fan.in","r",stdin);
freopen("fan.out","w",stdout);
while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&xx,&yy)!=EOF){
leiou(a,b,x,y,xx,yy);
printf("%lld\n",sqr(a*x+b*xx)+sqr(a*y+b*yy));
}
}