bzoj 4332: JSOI2012 分零食 快速傅立叶变换

题目:

题解:

首先这道题我们可以考虑枚举一下有多少人得到了零食
设\(g[i][j]\)表示\(i\)个人里分下去了\(j\)个零食得到的值,n为人数,m为零食数
这样我们有\(ans = \sum_{i=1}^ng[i][m]\)
\(g[i][j]\)的递推我们有
\[g[i][j] = \sum_{k=1}^{j-1}g[i-1][j-k]*F(k)\]
其中\(F(k)\)表示将\(k\)个零食分给一个人得到的权
然后我们惊奇地发现后面的式子是一个卷积的形式
所以我们可以得到\(g_i = g_{i-1}*F\)
由于卷积满足结合律,所以我们有\(g_i = g_0*F^i\)
这样的话我们能够完成\(nlogn\)的单点求值,但是我们要求的是\(g_i\)的一个和
我们把答案\(ans\)拓展为一个多项式\(f(x)\),答案储存在第f(n)的第\(m\)位
则有\(f_n = \sum_{i=1}^{n}g_i\)
然后我们发现:
\[f_n = f_{\frac{n}{2}} + \sum_{i=\frac{n}{2}+1}^{n}g_i\]
\[f_n = f_{\frac{n}{2}} + \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}g_{\frac{n}{2}+i}\]

在继续推导之前首先我们需要证明: \(g_{i+j} = g_i*g_j\)
由\(g_i = g_0*F^i\)可得:\(g_i*g_j = g_0*g_0*F^i*F^j\)
因为:\(g_0*g_0 = g_0\)所以有\(g_0*g_0*F^i*F^j = g_0*F^i*F^j = g_{i+j}\)得证

所以继续上式的推导我们有
\[f_n = f_{\frac{n}{2}} + \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}g_{\frac{n}{2}}*g_i\]
我们将卷积的形式再拆解开来:
\[f_n = f_{\frac{n}{2}} + \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}\sum_{j=1}^{m-1}g_{\frac{n}{2},m-j}*g_{i,j}\]
\[f_n = f_{\frac{n}{2}} + \sum_{j=1}^{m-1}g_{\frac{n}{2},m-j}*\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}g_{i,j}\]
\[f_n = f_{\frac{n}{2}} + \sum_{j=1}^{m-1}g_{\frac{n}{2},m-j}*f_{\frac{n}{2},j}\]
\[f_n = f_{\frac{n}{2}} + g_{\frac{n}{2}}*f_{\frac{n}{2}}\]
我们又知道:
\[g_n = g_{\frac{n}{2}}*g_{\frac{n}{2}}\]
所以迭代倍增即可求解
复杂度\(O(nlog^2n)\)

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(int &x){
x=0;char ch;bool flag = false;
while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;
while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
const int maxn = 41000;
const double pi = acos(-1);
int mod;
struct complex{
long double x,y;
complex(){x=y=0;}
complex(long double a,long double b){x=a;y=b;}
complex operator + (const complex &r){return complex(x+r.x,y+r.y);}
complex operator - (const complex &r){return complex(x-r.x,y-r.y);}
complex operator * (const complex &r){return complex(x*r.x-y*r.y,x*r.y+y*r.x);}
complex operator / (const long double &r){return complex(x/r,y/r);}
};
inline void FFT(complex *x,int n,int p){
for(int i=0,t=0;i<n;++i){
if(i > t) swap(x[i],x[t]);
for(int j=n>>1;(t^=j) < j;j>>=1);
}
for(int m=2;m<=n;m<<=1){
int k = m>>1;
complex wn(cos(p*2*pi/m),sin(p*2*pi/m));
for(int i=0;i<n;i+=m){
complex w(1,0),u;
for(int j=0;j<k;++j,w=w*wn){
u = x[i+j+k]*w;
x[i+j+k] = x[i+j] - u;
x[i+j] = x[i+j] + u;
}
}
}
if(p == -1 ) for(int i=0;i<n;++i) x[i] = x[i]/n;
}
complex ca[maxn],cb[maxn],cc[maxn];int len,m;
inline int mul(int *a,int *b,int *c){
for(int i=0;i<len;++i){
ca[i] = complex((long double)a[i],0);
cb[i] = complex((long double)b[i],0);
}
FFT(ca,len,1);FFT(cb,len,1);
for(int i=0;i<len;++i) cc[i] = ca[i]*cb[i];
FFT(cc,len,-1);
for(int i=0;i<=m;++i){
c[i] = ((int)floor(cc[i].x + 0.5)) % mod;
}
}
int f[maxn],g[maxn],arr[maxn],tmp[maxn];
inline void qpow(int k){
if(k == 1){
for(int i=0;i<=m;++i) f[i] = g[i] = arr[i];
return ;
}qpow(k>>1);
mul(f,g,tmp);mul(g,g,g);
for(int i=0;i<=m;++i){
f[i] += tmp[i];
if(f[i] >= mod) f[i] -= mod;
}
if(k&1){
mul(g,arr,g);
for(int i=0;i<=m;++i){
f[i] += g[i];
if(f[i] >= mod) f[i] -= mod;
}
}
}
int main(){
read(m);read(mod);
for(len = 1;(len) <= (m<<1);len<<=1);
int n,a,b,c;read(n);read(a);read(b);read(c);
a %= mod;b %= mod;c %= mod;
for(int i=1;i<=m;++i) arr[i] = ((a*i*i % mod) + (b*i % mod) + c) % mod;
qpow(n);printf("%d\n",f[m]);
getchar();getchar();
return 0;
}