抛硬币直到出现连续N次正面为止的期望

做项目时遇到这样一个问题，问题可以简化为

问题1：已知一件事情发生的概率是p，连续对这件事情进行很多次实验直到这件事连续发生了n次，求需要进行多少次实验次数的期望。

问题2：如果用抛硬币来举例子，则为假设有一个硬币，抛出背面和正面的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现三次正面为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出三次正面向上游戏就结束了，不用继续抛。

在网上看到一个巧妙的解法，假设已经连续抛出n-1次正面，需要Tn−1次。想得到n次正面，则再进行一次投掷（Tn=Tn−1+1+?），若硬币为正面则游戏结束，还需要抛0次（Tn=Tn−1+1+0.5∗0+?）；如果硬币为反面，则游戏重来，还需要投掷0.5∗Tn次，递推公式如下所示：

Tn=Tn−1+1+0.5∗0+0.5∗Tn

求出通项公式为：

Tn=2n+1−2

问题2为连续抛出三次正面，尝试次数的期望为14.

对问题1用同样类似的思路，可以求得连续n次发生的次数的期望为

Tn=1pn+1−11−p

在n很大时，我们可以用下面的公式来近似估计：

Tn≈1pn+1

参考：http://blog.csdn.net/wangran51/article/details/8882088