LeetCode算法题目：Median of Two Sorted Arrays

题目描述：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析：

    直接 merge 两个数组，然后求第 k 大的元素。不过我们仅仅需要第 k 大的元素，是不需要“排序”这么复杂的操作的。可以用一个计数器，

    记录当前已经找到第 m 大的元素了。同时我们使用两个指针 pA 和 pB，分别指向 A 和 B 数组的第一个元素，使用类似于 merge sort 的原理，

    如果数组 A 当前元素小，那么 pA++，同时 m++；如果数组 B 当前元素小，那么 pB++，同时 m++。最终当 m 等于 k 的时候，就得到了我们的答案，O(k)时间，O(1) 空间。但是，当 k 很接近 m + n 的时候，这个方法还是 O(m + n) 的。有没有更好的方案呢？我们可以考虑从 k 入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第 k 大元素之前的元素，那么我们需要进行 k 次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于 A 和 B 都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。

假    设 A 和 B 的元素个数都大于 k/2，我们将 A 的第 k/2 个元素（即 A[k/2-1]）和 B 的第 k/2

个元素（即 B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设 k 为偶数，所得到的结论对于 k 是奇数也是成立的）：

A[k/2-1] == B[k/2-1]

A[k/2-1] > B[k/2-1]

A[k/2-1] < B[k/2-1]

    如果 A[k/2-1] < B[k/2-1]，意味着 A[0] 到 A[k/2-1 的肯定在 A [ B 的 top k 元素的范围内，换句话说，A[k/2-1 不可能大于 A [ B 的第 k 大元素。留给读者证明。

    因此，我们可以放心的删除 A 数组的这 k/2 个元素。同理，当 A[k/2-1] > B[k/2-1] 时，可以删除 B 数组的 k/2 个元素。

    当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，说明找到了第 k 大的元素，直接返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]即可。

    因此，我们可以写一个递归函数。

    当 A 或 B 是空时，直接返回 B[k-1] 或 A[k-1]；

    当 k=1 是，返回 min(A[0], B[0])；

    当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]

代码实现：class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(const vector<int>& A, const vector<int>& B) {
const int m = A.size();
const int n = B.size();
int total = m + n;
if (total%2==1)
return find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1);
else
return (find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2)
+ find_kth(A.begin(), m, B.begin(), n, total / 2 + 1)) / 2.0;
}
private:
static int find_kth(std::vector<int>::const_iterator A, int m,
std::vector<int>::const_iterator B, int n, int k) {
//always assume that m is equal or smaller than n
if (m > n) return find_kth(B, n, A, m, k);
if (m == 0) return *(B + k - 1);
if (k == 1) return min(*A, *B);
//divide k into two parts
int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;
if (*(A + ia - 1) < *(B + ib - 1))
return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);
else if (*(A + ia - 1) > *(B + ib - 1))
return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);
else
return A[ia - 1];
}
};